Решение. а) Предположим, что такие числа найдутся, тогда они могут быть представлены в виде: , где (иначе числа не будут различ

.

а) Предположим, что такие числа найдутся, тогда они могут быть представлены в виде: , где (иначе числа не будут различными) и, следовательно, , , Поскольку по условию b и q – натуральные числа и , получившееся уравнение решений не имеет и предположение не является верным.

б) Предположим, что такие числа найдутся, тогда четыре из них можно представить в виде: , где (иначе числа не будут различными), а пятое принимает некоторое значение с. Тогда, согласно условию, , , . Поскольку по условию b, с, q – натуральные числа и , получившееся уравнение решений не имеет и предположение не является верным.

в) Предположим, что такие числа найдутся, тогда три из них можно представить в виде: , где (иначе числа не будут различными), а четвертое и пятое принимает некоторые значения с и d. Тогда, согласно условию, , , . Поскольку по условию b, с, d, q – натуральные числа и , то выбирая получаем три числа, образующих геометрическую прогрессию: 1, 2, 4, произведение двух оставшихся чисел, отличных от уже найденных, должно быть равно 90. Следовательно, это могут быть числа: 3 и 30, 6 и 15, 9 и 10, 18 и 5.

Таким образом, число 720 в виде произведения пяти натуральных чисел, три из которых образуют геометрическую прогрессию может быть представлено следующим образом:

, , , .

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.