Задача 1. Расчет динамических характеристик линейных САУ.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

 

Определить весовую функцию g (t) и переходную функцию h (t) линейной САУ, состоящей из последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев, по заданным в табл. 1 параметрам ее передаточной функции в соответствии с последними двумя цифрами учебного шифра:

, где р – оператор Лапласа. К=3; Т=0,1.

Составить таблицу расчетных значений искомых временных характеристик и построить их графики для временного интервала: t = 0 – 5 T с шагом дискретизации, равным 0,5 Т.

Решение.

изображение весовой функции L [ g (t)] линейной САУ есть ничто иное, как ее передаточная функция:

L [ g (t)] = .

Для отыскания оригинала весовой функции g (t) = L ^-1[ W (p)] разложим W (p) на элементарные дроби, соответствующие передаточным функциям отдельных звеньев системы САУ, и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов усиления этих звеньев (коэффициенты А и В в знаменателе элементарных дробей): . (1)

 

После приведения правой части выражения (1) к общему знаменателю можно приравнять числители левой и правой частей полученного уравнения:

 

3 = А ∙(0,1∙ р + 1) + В ∙ р = р ∙(0,1∙ А + В) + А (2)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему двух уравнений из двух неизвестных: 3 = А;

0 = 0,1∙ А + В, откуда

А = 3; В = - 0,1∙ А = - 0,3.

 

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:

. (3)Переход от изображений элементарных функций f (p) в операторной форме записи к их оригиналам, как функций времени f (t), осуществляется, как правило, с использованием стандартных таблиц изображений, приводимых в справочной литературе. Так,

оригинал L ^-1[1 /р ] функции 1 /р равен: L ^-1[1 /р ] = 1.

оригинал L ^-1[1 / (р + 10)] функции 1 / (р + 10) равен: L ^-1[1 / (р + 10)] = е ^{-10∙ t}.

Заменив в правой части уравнения (3) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для весовой функции: g (t) = 3∙(1 - е ^{-10∙ t}) (4)

 

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график g (t).