Кривые второго порядка, их канонические уравнения, параметры

Кривые второго порядка – это линии плоскости, уравнения которых по совокупности переменных х и у, являются уравнением второго порядка. ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0, где a, b, c не все раны 0. Существует три типа таких кривых: эллипс (окружность), гипербола, парабола.

Окружность – это множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от центра С.

Если C(x₀; y₀), М(х, у) ­ точка окружности с текущими координатами и СМ=r, то уравнение окружности имеет вид: (x–x₀)²+(y–y₀)²=r²

Если С совпадает с началом координат, СºО,то x²+y²=r ².

Эллипс – это множество точек плоскости, удовлетворяющих условию: сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная : F₁M+F₂M=const

Если фокусы F₁ и F₂ расположить на оси ОХ так, чтобы F₁O=OF₂, F₁F₂=2с, a |MF₁|+|MF₂|=2a, a>с, тогда каноническое уравнение эллипса: , где F₁F₂ – фокальная ось, а – большая полуось, b – малая полуось, а b²=a²–c².

Из уравнения видно, что кривая симметрична относительно осей ОХ и ОУ. |x|<a; |y|<b, т.е. эллипс – фигура ограниченная и лежит внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b. Этот прямоугольник называется основным.

Эллипс имеет 4 вершины: А(0;0), A₂(–a;0), B₁(0;b), B₂(0;–b).

Эксцентриситет эллипса характеризует вытянутость эллипса вдоль оси Ох. При с®0, ®0, т.е. оси a и b отличаются между собой не значительно. Если с=0 ( =0), то фокусы совпадают, то получаем частный случай эллипса – окружность.

Эллипс имеет две директрисы – это прямые, перпендикулярные фокальной оси, находящейся на расстоянии от центра.

Если центр эллипса находится в точке С(х₀, у₀),

то его уравнение:

Гипербола – множество точек плоскости, для которых разность расстояний для двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Если |F₁M–F₂M|=const=2a, F₁F₂=2с, и лежат фокусы на Ох так что F₁O=OF₂, то каноническое уравнение гиперболы запишется в виде: , где а – действительная полуось, b – мнимая полуось, а b²=c²-a².

Из уравнения следует, что кривая симметрична относительно осей Ох и Оу.

Так как |a|³0, a>0, a£ |x| < +∞, 0£ |y| +∞.

Гипербола имеет две вершины: А₁(0,0), А₂(-а,0).

Гипербола имеет также две директрисы. Расстояние от центра до директрисы: d=a/E; E=c/a>1. Гипербола имеет 2 асимптоты. На чертеже это прямы, содержащие диагонали основного прямоугольника, их уравнение: y= ± x.

- сопряженная гипербола

Парабола – множество точек плоскости, которые равноудалены от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). |KM|=|MF|.

Если расстояние от фокуса до директрисы равно К и если фокус лежит на оси Ох, а директриса перпендикулярна Ох, то каноническое уравнение параболы имеет вид:

у²=2рх у²=2рх

.

 

 

Если фокус принадлежит ОУ:

х²=2ру х²= –2ру

 

 

Если вершина находится в т. С(х₀, у₀), то каноническое уравнение имеет вид:

(x–x₀)²= ±2p(y–y₀)

(y–y₀)²= ±2p(x–x₀)

Различные уравнения плоскости

Пусть даны точки: M₁(x₁; y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), M(x; y; z). Образуем векторы .Эти три вектора лежат в одной плоскости, они компланарны, а смешанное произведение компланарных векторов равно 0, т.е. . Если , ,

(1)

Если дана точка. А(x₀; y₀; z₀) и даны два направляющих вектора =(a_x; a_y; a_z) и

=(b_x; b_y; b_z), которые параллельны плоскости,тогда (2)

Если плоскость проходит через т. А(x₀; y₀; z₀) и плоскость перпендикулярна вектору =(a, b, c), а М(x, y, z) ­ произвольная точка плоскости, тогда . В координатной форме имеем

a(x–x₀)+b(y–y₀)+c(z–z₀)=0 (3)

Если раскроем скобки в последнем равенстве, то получим общее уравнение плоскости: ax+by+cz+d=0 (4),

Уравнение плоскости в отрезках: если плоскость проходит через точки , и , то применяя уравнение (1) получим (5)

 

Взаимное расположение плоскостей.

Пусть , а , то

π ₁ || π ₂ Û

π ₁º π ₂ Û

π ₁^ π ₂ Û a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0

Расстояние от т. А(x₀; y₀; z₀) до плоскости π: ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле