Справочный материал к контрольной работе по теме

«Интегральное исчисление функции одной переменной»

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

Функция F ( x ) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где .

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Таблица интегралов

 

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. .

Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подинтегральной функции

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

= +3 = .

Ответ: .

 

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

 

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:

. (3)

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

= = .

Ответ: .