контрольной работы по теме

«Интегральное исчисление функции одной переменной»

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

, , , .

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

 

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) , б) .

Задача 3.

а ) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ДСК линиями l ₁: и l ₂: . Сделать чертеж.

б ) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ПСК линией l: . Сделать чертеж.

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l ₁: и l ₂: y = 6 x. Сделать чертеж.

 

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением , где . Сделать чертеж.

Решение задачи 1.

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: .

 

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

, или .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):

Из первого уравнения получим: . Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

.

Таким образом,

Переходим к интегрированию:

.

Здесь использовано: ,

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: .

 

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем:

.

Ответ: .

 

Решение задачи 2.

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

,

следовательно, интеграл сходится и равен .

Здесь использовано: .

Ответ: .

 

б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, поэтому

,

следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: .

Решение задачи 3.

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = – 1, x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [ – 1; 3].

Таким образом, используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

.

Ответ: единиц площади.

б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .

		π;/4	2 π;/4	3 π;/4	π;	5 π;/4	6 π;/4	7 π;/4	2 π;
		12,7		11,3		11,3		12,7

Построим чертеж в ПСК (рис. 7).

Так как фигура ограничена кривой,

заданной в полярной системе координат, то

площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):

.

 

Для получаем:

.

Ответ: единицы площади.

Решение задачи 4.

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l ₁ и l ₂ нужно найти точки их пересечения, т.е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: .

Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8) можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):

.

Ответ: единиц объема.

Решение задачи 5.

Кривая задана уравнением где , поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): .

Для получаем: ,

тогдадлина дуги кривой

.

Ответ: единиц длины.

Варианты контрольной работы №5

по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Задача 1.

Найти неопределенные интегралы:

 

№ варианта	Интегралы
n	; ; ;

 

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

 

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

 

№ варианта	Интегралы
n	а) ; б)

 

Задача 3.

а) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ДСК линиями l ₁ и l ₂. Сделать чертеж.

б ) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ПСК линией l. Сделать чертеж.

 

№ варианта	Уравнения линий
а)	б)
n

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l ₁и l ₂. Сделать чертеж.

 

 

№ варианта	Уравнения линий
n

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением y = f (x), где . Сделать чертеж.

 

№ варианта	Уравнение кривой	Промежуток
n

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Высш. шк., 1999.– 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.