Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sin х и cos x под знаком корней), используют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)

6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона – Лейбница, получаем:

= .

Ответ: .

7. Несобственные интегралы первого и второго рода

Интеграл

(8)

называется несобственным интегралом первого рода.

Интеграл

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции называется несобственным интегралом второго рода.

Если b – точка бесконечного разрыва функции , то

, (10)

– тоже несобственный интеграл второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

8. В ычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f (x), где для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

 

Если фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f ₁(x) и

y = f ₂(x) где для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:

. (12)

 

9. В ычисление площади в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой , где (рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)

 

10. Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,

y = 0 и непрерывной кривой y = f (x), где для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

. (14)

Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x= b,

y ₁ = f ₁(x) и y ₂ = f ₂(x) где для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

. (15)