Сокращение дробей

Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб разованию дробей. Как известно, сократить дробь — это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа — предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят' в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их. деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 304

например |, подобрать делитель — для числителя и знаменателя
(опорой для выполнения такого действия является таблица умно­
жения). ₅
Далее учитель предлагает подобрать делитель для дроби -^. (В

какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли: -тг=т- ^ВиД ДР^{оби стал} проще- Учащиеся подводятся к выводу правила сокращения дробей.

Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как -^=|, т. е. ученик не нашел наибольший общий делитель для чисел 4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. -^=^=^ ^{но при ЭТОМ} °^Пра" шивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

Сравнить дроби |, у, |. Сказать правило сравнения дробей с

одинаковыми числителями.

Сравнить дроби -г-, тт,?-, -?. Сказать правило сравнения др

с одинаковыми знаменателями.

3 1

Сравнить дроби ^ и -^. Эти дроби учащиеся сравнить затрудня­ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы ] сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате-| ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Учащихся необходимо познакомить со способом выражения \ дробей в одинаковых долях.

Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

3 1 Например, у дробей тг и •*• знаменателями являются числа 8 и 2.

Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби -^ умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим

4 34

дробь д-. Теперь дроби •§• и -д- выражены в одинаковых долях. Их

легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате-

15 2 лями. Например, даны дроби ^-, -^ и -д. Чтобы эти дроби привести

к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306

'2x1=2. Дробь ^ примет вид -^. Затем 12:3=4, 4x3=12,

2 8 152

4x2 = 8. Дробь д- примет вид -^-. Следовательно, дроби ^-, -^ и -у

25 8 примут соответственно вид -™-, -гя- и -г*-, т. е. окажутся выражен-

ными в одинаковых долях.

Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

с о о

Например, надо выразить в одинаковых долях дроби ттг и •*•• тт.

I 3 I- Т

Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его

с

записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, -т^- и

2^х5 6 10,д,51

-у, тт ^и ТВ"' Можно также предложить сравнить дроби -^ и т^.

5 ^И ТВ"' 3 ^и? ^{и Т}- ^д'

Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

3 5 общим для данных дробей. Например, •§• и ^-. Знаменатель 8 не

делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

3 5 пример, чтобы дроби •§• и -^ были выражены в одинаковых долях,

больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2 = 16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3

увеличим в 3 раза.

3 9

Дробь -д примет вид щ. Знаменатель 6 увеличили в 4 раза.

Дроби -д и -г- примут соответственно вид ^т и ~^-

Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правил знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых дс

3 5 Например, даны две дроби т и у.

ч

1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=1..
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знам<

, _а 3 5 натель для дробей т ^и у-

2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

\7

28:7=4.

= \4

3. Запишем их над дробями: —г- и -=-

4. Числители дробей умножим на дополнительные множителц|
3x7=21, 5x4=20.

„, 21 20 о

Получим дроби с одинаковыми знаменателями ^г и ^тг. Значит,!

_. 3 5 дроби х и ₇ мы привели к общему наименьшему знаменателю.

Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразование» дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф метических действий с дробями. Например, сокращение дробей ил», замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб-^ разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина-| ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разноси придется делать либо одно, либо оба преобразования.

_и 1,1 2 15.38,15, 7 • 12,

Например, _т+_т=_т=₇; ₇₊₇=₇=\₇; ^+^-^-=1

Приведение дробей к наименьшему общему знаменател, лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание! дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа! неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро-' бей на целое число».