Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

 

Задача 1. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м³ под давлением 767 мм рт. ст. при температуре 18°С. Какова плотность и удельный объем газа?

Дано: V = 50 м3 Ρ = 767 мм. рт. ст. @ 767·133 Па Т = 291 К М = 2 кг/моль	Решение: На основании уравнения Менделеева – Клайперона: устанавливаем число киломолей ν;, содержащихся в заданном объеме V. Зная р - давление, V – объем, Т – температуру газа, R – молярную газовую постоянную
ν –? N –? ρ –? d –?

можно определить ν:

Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя число Авогадро N_А (которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено, так как известно число молей ν.

Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем число молекул, содержащихся в объеме V: .

Плотность газа ρ = m / V определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:

Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим плотность газа:

 

 

Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:

(м3/кг).

Ответ: 11,9 м³/кг.

 

 

Задача 2. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V = 2 м3 m 1 = 4 кг М 1 = 4·10-3 кг/кмоль m 2 = 2 кг М 2 = 2·10-3 кг/кмоль Т 1 = 300 К	Решение: Воспользуемся уравнением Менделеева - Клайперона, применив его к гелию и водороду: (1) (2) где р 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия;
р -? М -?

М ₁ – егомолярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) –молярная газовая постоянная; р ₂ – парциальное давление водорода; m ₂ – масса водорода; М ₂ – его молярная масса.

По закону Дальтона: (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р ₁и р ₂и подставим в уравнение (3):

(4)

С другой стороны, уравнение Менделеева - Клайперона для смеси газов имеет вид:

(5)

Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле:

, (6)

где ν₁ и ν₂ – число молей гелия и водорода соответственно.

(кг/моль).

Ответ: 3·10^-3 кг/моль.

 

 

Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода <;λ > = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 ^–10 м.

Дано: <λ>= 2,5·10-2 м Т= 341 К d= 2,3·10-10 м NA = 6,02·1026 кмоль-1	Решение: Давление водорода при температуре Т можно найти по уравнению Менделеева- Клайперона, в котором удобно ввести число молекул n 0 в 1 м3.
р –?

Это проводится следующим образом:

; ; ;

где N_A – число Авогадро и k – постоянная Больцмана.

Следовательно, Так как , имеем .

Число молекул в 1 м³ выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы , находим Таким образом:

(Па).

Ответ: 0,8 Па.

 

 

Задача 4. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?

Дано: < λ > = 10 см = 0,1 м	Решение: Средняя длина пробега молекулы определяется формулой:
р -? n 0 -?

, (1)

где d – эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 ^–9 м).

Концентрацию молекул найдем из равенства:

, (2)

где N_A – число Авогадро; М = 28·10 ^–3 кг/моль – молярная масса азота.

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим:

(кг/м3).

Ответ: 1,09·10^-6 кг/м³.

 

Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.

Дано: p = 2·105 Па d = 2,9·10-10 м М = 32·10-3 кг/моль Т = 280 К	Решение: На основании представлений молекулярно – кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения идеального газа (динамическая вязкость) и коэффициент диффузии определяются по формулам:
η -? D -?

(1); (2),

где ρ– плотность газа; < λ > – средняя длина свободного пробега молекул; <υ;_ар >; – средняя арифметическая скорость молекул.

Из (1) и (2) следует (3)

Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам:

(4) , (5)

где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 ^–10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n ₀ – число молекул в 1 м³ (концентрация).

Из уравнения Менделеева - Клайперона определяем n ₀

(см. задачу 3): (6)

где р – давление; k = 1,38·10 ^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: . (7)

Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2):

. (8)

Плотность кислорода определяется по формуле: . С учетом (6) имеем: . (9)

Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: .

Вычисляем:

Ответ: .

 

Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м² и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).

Дано: S = 25 м2 D = 37 см = 0,37 м T 1 = 259 K T 2 = 293 R χ = 0,4 Вт/(м·К)	Решение: Количество теплоты, прошедшее через наружную стену, определим по закону Фурье: (1) где t – время протекания теплоты.
N -?

За время t – электроплита должна выделить такое же количество теплоты: (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

,

откуда ,

Ответ: 0,92 кВт.

 

2. Основы термодинамики

 

Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Дано: т = 2 кг Т = 400 К М = 2·10 –3 кг/моль	Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда
<E пост > -? <E вр > -?

число степенейсвободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

, .

Число молекул, содержащихся в массе газа m: , где ν – число молей, N_A – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: , (1)

где R = kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: . (2)

Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:

Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.

 

Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р ₁ = 100 кПа до Р ₂ = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р ₃ газа в конце процесса.

Дано: Р 1 =100 кПа=1·105 Па Р 2 = 1 МПа =1·106 Па V 2 = const g = 1,4 Р 3 –?

Решение: На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи.

Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:

(1)

Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:

,

откуда P ₁ V ₁ = P ₃ V ₃.

По условию задачи V ₂ = V ₃.Используя уравнение (1) можно записать

.

Тогда

Ответ:

Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м², если плотность воздуха у поверхности Земли а давление Р ₀ = 1,013 ∙ 10⁵ Па. Температуру воздуха считать одинаковой.

Дано: h = 1 км = 1000 м S = 1 м2 Т = const Р 0=1,013 ∙ 105 Па = 1,2 кг/м 3	Решение: Атмосферное давление меняется с высотой, плотность воздуха также является функцией высоты . Массу воздуха в элементе объема dV представим в виде: dm = . Найдем изменение плотности воздуха с высотой.
m –?	Согласно уравнению состояния идеального газа

. (1)

Продифференцировав (1), получим (2)

С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h ₀ к высоте h ₀ + dh

(3)

где – плотность воздуха на высоте h.

Используя уравнения (2) и (3) получим:

или

Вычислим массу столба воздуха

Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:

m = 1,13 · 10³ кг.

Ответ: m = 1,13 · 10³ кг.

 

Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 10⁷ Па, а объем 0,3 л.

Дано: Т = 4 кг V 2/ V 1 = 40 p 1 = 10 7Па V 1 = 0,3 л = 3·10-4 м3	Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е
υ -?

,

где т и υ – масса и скорость поршня.

Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).

Так как , то ,

Ответ: 54 м/с.

 

Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 ²⁴ м ^-3.

Дано: υ = 500 м/с n 0= 5·10 24 м –3	Решение: Давление определяется по формуле: , (1)
р -?

где F – сила давления, S – площадь.

Силу давления найдем из второго закона Ньютона:

, (2)

где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δ υ; – изменение скорости молекул при ударе.

Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро: , где М = 32·10²³ кг/моль – молярная масса кислорода; N_A = – постоянная Авогадро.

За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: , масса которых: . (3)

Изменение скорости при соударении: . (4)

Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: , откуда , .

Ответ: 1,33·10⁵ Па.

 

Задача 12. Определить удельные теплоемкости с_р, с_v, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.

Дано: m 1= 1 кг М 1 = 28 кг/кмоль i 1 = 5 m 2 = 1 кг М 2 = 4 кг/кмоль газа. i 2 = 3	Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых
ср -? сv -?

происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой: , где i ₁ и i ₂ – число степеней свободы первого и второго газов.

Окончательно получим: . (1)

Если нагревание происходит при постоянном давлении, то

, (2)

где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна: ; , поэтому:

.

Подставляя это значение в уравнение (2), получим:

.

Произведем вычисления:

Ответ: .

 

 

Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.

Дано: m = 0,02 кг Т 1 = 27°С = 300 К М = 2 кг/кмоль i = 5	Решение: При адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением: , где – отношение теплоемкостей газа при
T 2 -? А -?

постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.

Отсюда выражение для конечной температуры Т ₂ будет:

.

Работа А ₁ газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:

.

(Дж).

Работа А ₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

(Дж).

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть равенства, и выполняя арифметические действия, находим: .

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:

(Дж).

.

График процесса приведен на рисунке 1.

Ответ: 8,7 · 10³ Дж.

 

Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V ₁= 1 м³ и находится под давлением р ₁= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V ₂= 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р ₃= 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.

Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V 1= 1 м3 р 1 = р 2 = 2·105 Мпа V 2= 3 м3 р 3 = 5·105 Мпа R = 8,31·10 –3 Дж/(кмоль·К)	Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой: , (1) где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная.
Δ U -? А -? Q -?

Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:

. (2)

Решая его относительно Т, получим: (3)

Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него

 

величин, находим:

Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим:

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А ₂ = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии Δ U и работы А: , следовательно: .

График процесса приведен на рисунке 2.

Ответ: 3,65 МДж.

 

Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n = 1 моль и находящийся под давлением Р ₁ = 0,1 МПа при температуре Т ₁ = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р ₂ = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V ₁. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.

 

Дано: Р 1= 0,1 Мпа = 1·105 Па Т 1= 300 К Р 2= 0,2 Мпа = 2·105 Па	Решение: В координатах Р, V график цикла имеет следующий вид
T 2 –? Т 3 –? h –?	V 1 V 2 V

Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V ₁ = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:

= .

Отсюда T ₂ = 2 Т ₁ = 600 K.

Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т ₂ = Т ₃.

Термический КПД цикла определяется выражением

, (1)

где Q ₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q ₂ – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл.

Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3

Q ₁= Q _1-2 + Q _2-3,

где Q _1-2 = C _v v (T ₂ - T ₁) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,

– количество теплоты, полученное при изотермическом расширении.

Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии:

Q _3-1 = Q ₂ = C_р

– молярная теплоемкость газа при V = const, C _р – молярная теплоемкость газа при P = const.

Подставив значения Q ₁ и Q ₂, С _v и С _р в формулу (1) получим:

,

Ответ: T ₂ = T ₃ = 600 K, η = 9,9 %.

 

Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.

 

Дано: V 2 = 2 V 1 A 2-3 = 3000 Дж i = 5	Решение: Идеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3).
А -?

На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т ₁ = Т ₂), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т ₃ = Т ₄) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию.

При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q ₁ идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.

(1)

При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q ₂ тепло отдается холодильнику (Q ₂), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа:

(2)

Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому можно записать:

(3)

Для состояний 4 и 1, которые отвечают одной адиабате, имеем:

(4)

Поделив выражение (3) на (4), получим:

, (5)

так как Т ₁ = Т ₂и Т ₃ = Т ₄.

Работа при адиабатическом расширении на участке 2-3 равна:

(6)

Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна:

.

Так как Т ₁ = Т ₂, а Т ₃ = Т ₄, то А _{2 - 3} = -А _{4 - 1}, т.е. полная работа по адиабатическому сжатию и расширению равна нулю.

Следовательно, работа цикла: А = А _{1 - 2} – А _{3 - 4}.

Из уравнений (1), (2) и (5) получим: (7)

Из уравнения (6) выразим разность температур Т ₂ – Т ₃, равную Т ₁ – Т ₃, и подставим в уравнение (7): . Произведем вычисления: .

Ответ: 831,6 Дж.

 

Задача 17. В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.

Дано: M = 32 кг/кмоль V 2 = 2 V 1	Решение: Изменение энтропии системы определяется по формуле: (1) где dQ – количества тепла,
∆S -?

сообщенное газу, Т – абсолютная температура, S ₁ и S ₂ – значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.

При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е. dQ = dA = pdV.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона: поэтому:

(2)

Подставляя выражение (2) в (1), получим:

Произведем вычисления:

Ответ: 1,44 Дж/град.

Задача 18. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

 

Решение:

Пусть температура горячей воды T ₁, холодной – T ₂, а температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса:

 

, или

откуда: . (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды:

.

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды:

.

Изменение энтропии системы равно

,

или с учетом соотношения (1) имеем: .

Так как , то и .

Поэтому , т.е. энтропия возросла.

Ответ: энтропия увеличивается.

 

 

Задача 19. Лед массой 2 кг, находящийся при температуре –10°С, нагрели и превратили в пар. Определить изменение энтропии.

Дано:	Решение: Изменение энтропии определяется по формуле: . Общее изменение энтропии равно сумме , где – изменения энтропии, происходящие на отдельных этапах процесса: .
∆S -?

1. Изменение энтропии происходит при нагревании льда от начальной температуры T ₁ = 263 K до температуры плавления T ₂ = 273 K: , так как , то , где m – масса льда; с ₁ – удельная теплоемкость льда.

2. Изменение энтропии происходит при плавлении льда. В этом случае . Тогда: , где T ₂– температура плавления льда; λ – удельная теплота плавления.

3. Изменение энтропии происходит при нагревании воды от температуры T ₂ до температуры кипения T ₃ = 373 K. Величина вычисляется аналогично :

,

где с ₂ – удельная теплоемкость воды.

4. Изменение энтропии происходит при испарении воды; так как , то

,

где r – удельная теплота парообразования.

Общее изменение энтропии

Ответ: 1,73·10⁴ Дж/К.

 

Задача 20. Резиновый шнур, жесткость которого k = 3 · H/м под действием груза удлинился на см. Считая процесс растяжения шнура изотермическим и происходящим при температуре t = 27°C, определить изменение энтропии.

Дано: Решение:

k = 3·10 Согласно 1-го закона термодинамики

t = 27°C Так как при изотермическом процессе

то

Процесс растяжения шнура происходит при постоянной температуре, а значит изменения внутренней энергии не происходит. Работа А равна изменению потенциальной энергии резинового шнура:

А = ,

Отсюда:

Ответ:

 

 

Задача 21. Углекислый газ массой 88 г находится в сосуде емкостью 10 л. Определить внутреннее давление газа и собственный объем молекул.

Дано: V = 10 л = 10 –2 м3 m = 88 г = 8,8·10-2 кг М = 4,4·10-2 кг/моль а = 0,361 Н·м/моль2 b = 4,28·10-5 м3/моль	Решение: По уравнению Ван-дер-Ваальса выражение добавочного давления р /имеет вид: , где а –постоянная Ван-дер-Ваальса, V – объем.
р’ -? V’ -?

Постоянная Ван-дер-Ваальса b учитывает поправку на собственный объем молекул V^’, и, как следует из уравнения Ван-дер-Ваальса, произведение равно учетверенному объему молекул , откуда:

.

 

Ответ: 0,021 л.

Список литературы

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.1. – М.: Наука, 1999.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2003.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002.

4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.

5. Чертов А. Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Интеграл–пресс, 1997.

 

Составители: ШАТОХИН Сергей Алексеевич,

Сагитова Эмма Вагизовна