Ответ: .

Задача 21. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение: Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому - количество целых чисел - делится на 9. По условию , поэтому . Таким образом, написано 36 чисел.

б) Приведём равенство к виду Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в(оценка) Подставим в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 16.

в(пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число -18 и два раза написан 0. Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а)36; б) отрицательных; в)16.