Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача на условный экстремум





Предположительно, что – дифференциальные функции в и ранг матрицы Якоби равен в каждойточке допустимой области , определяемой условием (3). Последнее означает, что градиенты в точках не обращается в нуль и линейно независимы, т.е. условия (3) задают зависимость параметров от параметров. В этом случае:

1. Вводится функция Лагранжа

,

2. дальше минимизируется как функция переменных на безусловный минимум, т.е. используются необходимое и достаточные условия.

Задача выпуклого программирования

(1)

 

(2)

где и - выпуклые дифференциальные функции.

Предположим, что допустимое множество удовлетворяет условию регулярности (условие Слейтера):

Существует точка такая, что для всех , т.е. существует у множества хотя бы одна внутренняя точка.

Говорят, что если в точке выполняется неравенство , то это ограничение является пассивным в точке . Очевидно, что для внутренней точки допустимого множества все ограничения являются пассивными.

Если же в точке какое-то ограничение выполняется с равенством , то оно называется активным в точке .

Обозначим через множество индексов активных ограничений в точке .

.

Введем дополнительные переменные и перейдем от ограниченной – неравенств к ограниченным – равенствам

(3)

функция Лагранжа для задачи (1), (3)

(4)

И получим систему управлений для определения стационарных точек

(5)

(6)

(7)

Условия (5), (6), (7) являются необходимыми условиями минимума в задаче (1), (3).

Исключим из этой системы вспомогательные переменные .

Очевидно, условие (7) эквивалентно (2) (т.к. ).

Умножим каждое равенство (6) на , тогда получим

или (с учетом (7)) . (8)

Составим функцию Лагранжа задачи (1), (2)

.

С учетом соотношения (5), (2) и (8) необходимые условия минимума в задаче (1) (2) принимают вид

(9)

(10)

(11)

Условие (11) означает, что в искомой точке хотя бы один из сомножителей обращается в нуль.

Если , то (ограничение с номером и является активным. Если же в точке (пассивное ограничение), то .

Условие (9) можно заменить

(12)

Откуда следует, что антиградиент в точке минимума является линейной комбинацией внешних нормалей к активным для точки ограничениям.

Тогда с учетом формул (9) – (11) можно сформулировать следующие необходимые условия минимума в задаче (1), (2) с допустимым множеством , удовлетворяющим условию регулярности.

Если является решением задачи (1) (2), то для некоторых чисел

, выполняются соотношение

(13)

(14)

(15)

(16)

которые называются условиями Куна-Таккера.

Эти условия являются и достаточными условиями минимума в задаче (1), (2).

Теорема Куна-Таккера. Для того, чтобы была решением задачи выпуклого программирования (1), (2) с дифференцируемыми функциями и достаточно ( если удовлетворяет условию регулярности, то и необходимая), чтобы существовал сектор , для которого выполняются условия (13) – (16).

Задача математического программирования со смешанными ограничениями.

(17)

(18)

(19)

предполагаются дифференцируемыми.

Справедлива следующая теорема Куна-Таккера:

Пусть в задаче (17) – (19) функции выпуклы и дифференцируемы, функции – линейны, а допустимое множество удовлетворяет условию регулярности.

Тогда, для того, чтобы была решением задачи (17) – (19), необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы и для которых выполняются условия:

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 437. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия