Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача на условный экстремум





Предположительно, что – дифференциальные функции в и ранг матрицы Якоби равен в каждойточке допустимой области , определяемой условием (3). Последнее означает, что градиенты в точках не обращается в нуль и линейно независимы, т.е. условия (3) задают зависимость параметров от параметров. В этом случае:

1. Вводится функция Лагранжа

,

2. дальше минимизируется как функция переменных на безусловный минимум, т.е. используются необходимое и достаточные условия.

Задача выпуклого программирования

(1)

 

(2)

где и - выпуклые дифференциальные функции.

Предположим, что допустимое множество удовлетворяет условию регулярности (условие Слейтера):

Существует точка такая, что для всех , т.е. существует у множества хотя бы одна внутренняя точка.

Говорят, что если в точке выполняется неравенство , то это ограничение является пассивным в точке . Очевидно, что для внутренней точки допустимого множества все ограничения являются пассивными.

Если же в точке какое-то ограничение выполняется с равенством , то оно называется активным в точке .

Обозначим через множество индексов активных ограничений в точке .

.

Введем дополнительные переменные и перейдем от ограниченной – неравенств к ограниченным – равенствам

(3)

функция Лагранжа для задачи (1), (3)

(4)

И получим систему управлений для определения стационарных точек

(5)

(6)

(7)

Условия (5), (6), (7) являются необходимыми условиями минимума в задаче (1), (3).

Исключим из этой системы вспомогательные переменные .

Очевидно, условие (7) эквивалентно (2) (т.к. ).

Умножим каждое равенство (6) на , тогда получим

или (с учетом (7)) . (8)

Составим функцию Лагранжа задачи (1), (2)

.

С учетом соотношения (5), (2) и (8) необходимые условия минимума в задаче (1) (2) принимают вид

(9)

(10)

(11)

Условие (11) означает, что в искомой точке хотя бы один из сомножителей обращается в нуль.

Если , то (ограничение с номером и является активным. Если же в точке (пассивное ограничение), то .

Условие (9) можно заменить

(12)

Откуда следует, что антиградиент в точке минимума является линейной комбинацией внешних нормалей к активным для точки ограничениям.

Тогда с учетом формул (9) – (11) можно сформулировать следующие необходимые условия минимума в задаче (1), (2) с допустимым множеством , удовлетворяющим условию регулярности.

Если является решением задачи (1) (2), то для некоторых чисел

, выполняются соотношение

(13)

(14)

(15)

(16)

которые называются условиями Куна-Таккера.

Эти условия являются и достаточными условиями минимума в задаче (1), (2).

Теорема Куна-Таккера. Для того, чтобы была решением задачи выпуклого программирования (1), (2) с дифференцируемыми функциями и достаточно ( если удовлетворяет условию регулярности, то и необходимая), чтобы существовал сектор , для которого выполняются условия (13) – (16).

Задача математического программирования со смешанными ограничениями.

(17)

(18)

(19)

предполагаются дифференцируемыми.

Справедлива следующая теорема Куна-Таккера:

Пусть в задаче (17) – (19) функции выпуклы и дифференцируемы, функции – линейны, а допустимое множество удовлетворяет условию регулярности.

Тогда, для того, чтобы была решением задачи (17) – (19), необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы и для которых выполняются условия:

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 437. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия