Приклади розв’язання задач

Задача 1. Знайти швидкість човна відносно берега річки, який пливе під кутом a=30° до течії, якщо швидкість течії річки v ₁=1,5 м/с, швидкість човна відносно води v ₂=2,5 м/с.

Дано:

a = 30°

v ₁=1,5 м/с

v ₂=2,5 м/с

–?

Розв’язок:

Швидкість човна відносно берега є векторною сумою швидкостей : (див. рис. 1.4).

За теоремою косинусів знайдемо модуль вектора швидкості :

v ² = v ₁² + v ₂² – 2 v ₁ v ₂ cos (p – a);

.

Показаний на рис. 1.4 кут b визначає напрямок вектора швидкості :

,

.

Відповідь: , .

Задача 2. Вільно падаюче тіло за останні 2 с польоту пройшло 196 м шляху. З якої висоти воно впало?

Дано:

Dt=t₂ – t₁ = 2 c

s = 196 м

h –?

Рис. 1.5
Розв’язок:

Нехай у момент часу t=0 c координата y тіла дорівнює y = h метрів, а в моменти часу t= t₁ c і t= t₂ c – y = s м і y = 0 м відповідно (див. рис. 1.5). Рух тіла відбувається у полі тяжіння Землі, тому прискорення тіла – це прискорення вільного падіння g =9,8 м/с². Кінематична формула залежності координати y від часу

. (1.1)

За умовою задачі початкова координата y₀ = h м, початкова швидкість v ₀ = 0 м/с, прискорення м/с². Записавши формулу (1.1) для моментів часу t= t₁ c і t= t₂ c, а також вираз з умови t₂ – t₁ = 2 c, отримаємо систему трьох алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими

h, t₁ і t₂ , розв’язавши яку, знайдемо відповідь задачі:

.

Відповідь: .

Задача 3. На висоті 10 м над Землею кинуто камінь під кутом 30° до горизонту зі швидкістю v =20 м/с. Знайти найбільшу висоту каменя над поверхнею Землі під час його польоту і відстань, яку він здолає у горизонтальному напрямку. Опором повітря знехтувати.

Дано:

h = 10 м

v ₀=20 м/с

a = 30°

H –?

s –?

Розв’язок:

Рис. 1.6

Рух тіла відбувається у полі тяжіння Землі, тому прискорення тіла – це прискорення вільного падіння g =9,8 м/с². Розкладемо рух каменя на два компоненти: 1) рівномірний рух уздовж осі x; 2) рівноприскорений рух уздовж осі y. Кінематичні формули залежності координат x і y від часу, а також відповідних швидкостей v _x i v _y такі:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

. (1.5)

За умовою задачі: початкові координати – y₀ = h м, x₀ = 0 м; початкові швидкості – v _0x = v ₀ cos a м/с, v _0x = v ₀ sin a м/с; прискорення – м/с², м/с². З урахуванням цього формули (1.2)–(1.5) перепишемо у вигляді

(1.6)

(1.7)

(1.8)

. (1.9)

У верхній точці D v _y = 0 м/с. Отже з останньої формули можна знайти момент часу, коли камінь має найбільшу висоту:

; ; ;

і за формулою (1.7) саму цю висоту:

.

Момент часу t_п падіння знайдемо з рівняння

.

; ;

; .

Час завжди додатній, тому перший корінь відкидаємо і за формулою (1.6) обчислимо шлях у горизонтальному напрямі s:

.

Відповідь: , .

Задача 4. Шлях s, який проходить матеріальна точка вздовж кола радіусом 4 м, від часу залежить за законом s=A+Bt+Ct², де A =2 м, В =3 м/с, С=1 м/с². Знайти прискорення а точки у момент часу і сам момент часу, коли нормальне прискорення дорівнює 4 м/с².

Дано:

R=4 м

s=A+Bt+Ct²

A =2 м

В = 3 м/с

С=1 м/с²

a_n=4 м/с²

v –?

a –?

Розв’язок:

Знайдемо формули для швидкості й тангенціального прискорення. Для цього продиференцюємо вираз для s:

s=B+2Ct=3+2t,

=2C=2 м/с².

Можемо визначити прискорення а за теоремою Піфагора (див. рис. 1.7):

Рис. 1.7

.

Потрібний момент часу знайдемо з умови a_n=4 м/с². Скориставшись формулою для нормального прискорення

, , ,

отримаємо два значення моменту часу:

t₁=0,5 c і t₂= c.

Друге значення часу відкидаємо, бо воно не задовольняє умові задачі (t³0).

Відповідь: , t=0,5 c.