Примеры. 1. Найти общее и особое решения автономного уравнения
1. Найти общее и особое решения автономного уравнения
Решение. В уравнении
Интегрируя обе части уравнения, находим Нетрудно видеть, что 2. Решить уравнение: а) Решение. Это три уравнения с разделяющимися переменными. а) Преобразуем уравнение и разделяем переменные:
При обращении в нуль Интегрируя обе части уравнения
На каждом этапе преобразования постоянная интегрирования обозначается в наиболее удобном виде, при этом б) Заметим, что
Здесь в) Непосредственной проверкой убеждаемся, что
где Заметим, что через точки с абсциссами
|
разделяем переменные:
.
где 
постоянная. Таким образом, 
общее решение. Интегральные кривые представляют собой параболы, которые переходят друг в друга при параллельном переносе вершины по оси абсцисс.
является стационарным решением уравнения. Поскольку через каждую точку оси абсцисс проходят по крайней мере пара интегральных кривых (парабола и сама ось), то 
особое решение.
б) 
в) 
и 
имеем четыре решения: 
, 
, 
и 
.
, последовательно находим
При 
получаем все четыре выше указанных решения. Итак, общий интеграл уравнения: 
– решение. Если 
, то в уравнении 
разделяем переменные: 
. Интегрируя обе части уравнения, имеем
отвечает полученному ранее решению 
Итак, общеерешение уравнения 
решение уравнения. Если 
, то разделяем переменные 
и интегрируем обе части:
При 
получаем решение 
. Таким образом, общее решение уравнения 
не проходит ни одной интегральной кривой уравнения за исключением точек 
, которые принадлежат прямой 
.
