ФУНКЦИЯ

Функции – это частный случай бинарных соответствий, на которые наложены дополнительные ограничения. Это понятие является основополагающим в математике.

Под функцией из множества Х в(на) множество Y мы понимаем всюду определённое бинарное соответствие, при котором каждый элемент множества Х связан с единственным элементом множества Y. Другими словами, для каждого х ÎХ существует ровно одна пара из соответствия вида (х, у). Графически (в стрелочном представлении) из каждого кружочка, представляющего элемент х,выходит ровно одна стрелка.

Для обозначения функции применяется такая символика: если f Í X´Y, то f: X®Y. При этом важно подчеркнуть, что функция f переводит элементы из Х в элементы из Y. Множество Х принято называть областью определения, а Y – областью значения функции.

Множеством значений функции называется подмножество в Y, состоящее из образов всех элементов х ÎХ. Оно обозначается символом f (Х).

Поскольку для каждого х ÎХ существует единственным образом определённый y ÎY, такой, что (х, у) Î f, мы будем писать у = f (x) и говорить, что функция f отображает множество Х в множество Y, а f (x) будем называть образом х при отображении f или значением функции, соответствующей аргументу х.

Если множества Х и Y бесконечны, мы не можем нарисовать стрелочное представление этого соответствия. В этом случае необходимо обратиться к традиционному математическому представлению такой функции, а именно, к её графику.

Рассмотрим важнейшие свойства функции. Функция называется инъективной или инъекцией, если из равенства f (х ₁) = f (х ₂) следует, что х ₁ = х ₂ для всех х ₁, х ₂ Î Х. Логически это эквивалентно тому, что из неравенства х ₁ ≠ х ₂ вытекает неравенство f (х ₁) ≠ f (х ₂). То есть у инъективной функции нет повторяющихся значений.

Функция называется сюръективной или сюръекцией, или функцией «на», если множество её значений совпадает с областью значений. Это означает, что для каждого у *ÎY найдётся такой х *ÎХ, что у * = f (х *). Таким образом, каждый элемент области значений будет являться образом какого-то элемента из области определения f.

Функция называется биективной или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Поскольку любая функция – это бинарное соответствие f: X®Y, поэтому всегда можно построить обратное соответствие. Если при этом мы снова получим функцию, то исходную функцию будем называть обратимой. Обратную функцию будем обозначать: f ^─1 : Y®X.

Функция f состоит из пар вида (х, у), где у = f (x). Обратная функция f ^─1 будет состоять из пар (у, х), где х = f ^─1 (у). Иными словами, обратная функция «переворачивает» действие исходной.

Функция обратима тогда и только тогда, когда она биективна.

 

Задача 4.8.1. Какие из следующих соответствий есть функции, а какие нет и почему?

A = { a, b, c }, B = {1, 2, 3}.

1) G₁ = { a,1), (b,1), (c,2)};

2) G₂ = {(a,1), (b,2), (b,3), (c,2)};

3) G₃ = {(a,1), (c,2)}.

Решение. G₁ – это функция; G₂ – не функция, так как элементу b соответствуют два различных элемента из Y – 2 и 3; G₃ – не функция, потому что соответствие не является полностью определённым.

Задача 4.8.2.

Определить, какие из изображенных функций инъективны, сюръективны или биективны.

Рис.4.18

Решение.

а) Данная функция не инъективна, поскольку значение 1ÎY соответствует а и b ÎX. Функция не является сюръекцией, потому что в элемент 2ÎY ничего не переходит;

б) данная функция инъективна, так не имеет повторяющихся значений. Она также и сюръективна, поскольку множество её значений совпадает с областью значений. В этом случае имеем биективную функцию;

в) значение 1 функция принимает как на а, так и на b. Значит, она не инъекция. Однако она сюръективна, поскольку в множество её значений входят все элементы области значений;

г) функция инъективна, но не сюръективна.

Задача 4.8.3. Показать, что функция k: R®R, заданная формулой k (x) = 4 x + 3 является биекций.

Решение. В этой задаче множества Х и Y равны множеству действительных чисел R. Предположим, что существуют значения х = а ₁ и х = а ₂ такие, что k (a ₁) = k (a ₂), то есть

4 а ₁ + 3 = 4 а ₂ + 3.

Из этого равенства вытекает, что 4 а ₁ = 4 а ₂ , откуда следует, что а ₁ = а ₂. То есть разным значениям аргумента х соответствуют разные значения функции k (x). Значит, данная функция инъективна.

Покажем, что функция сюръективна. Для этого нужно доказать, что область значений функции совпадает с её множеством значений. Пусть у = b ÎY. Найдётся ли такое значение х = а ÎХ, что k (a) = b? Имеем: 4 а ₁ + 3 = b. Откуда . Очевидно, что это значение принадлежит множеству Х. Итак, данная функция сюръективна.

Поскольку k (x) = 4 x + 3 является одновременно и сюръективной, и инъективной, то она биективна.

Задача 4.8.4. Найти функцию, обратную к заданной формулой

k (x) = 4 x + 3.

Решение. Поскольку в предыдущей задаче доказана биективность данной функции, следовательно она является обратимой. То есть если у = k (x), следовательно, существует функция х = k ^─1(у). Из равенства у = 4 x + 3 выразим . Это и есть k ^─1(у). Однако по традиции в математике аргумент обозначается символом х, функция у. Перейдя к таким обозначениям, получим обратную функция в виде: .

График прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3-го координатных углов (прямая у = х).

 

Рис.4.19

Задачи для самостоятельного решения.

1. Х = {0, 2, 4, 6}, Y = {1, 3, 5, 7}. Какие из следующих соответствий между множествами Х и Y являются функциями, определёнными на Х со значениями в Y? Какие из найденных функций инъективны, сюръективны?

а) {(6, 3), (2, 2), (0, 3), (4, 5)};

б) {(2, 3), (4, 7), (0, 1), (6, 5)};

в) {(2, 4), (4, 5), (6, 3)};

г) {(6, 1), (0, 3), (4, 1), (0, 7), (2, 5)}.

2. Области определения и значений следующих функций совпадают с множеством целых чисел Z. Какие из них инъективны, сюръективны или биективны?

а) f (n) = 2 n + 1;

б)

в)

3. Изобразить графики функций. Найти их множество значений. Какие из них инъективны, сюръективны или биективны. Найти обратную функцию (если возможно).

а) f: Z ® Z, f (x) = x ² + 1;

б) f: N ® N, f (x) = 2 ^x ;

в) f: R ® R, f (x) = 5 x - 1;

г) f: R ® R,

д) f: R ® R, f (x) = 2 x - | x |.

4. Функция f: Х ® Y задана формулой f (x) = 1 + 2/ х, где Х – множество вещественных чисел, отличных от 0, а Y – множество вещественных чисел без 1. Показать, что эта функция биективна и найти её обратную к ней функцию. Сделать чертёж.