СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ОБРАЗ И ПРОООБРАЗ. БИНАРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ

Рассмотрим два непустых множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг другу, образуя пары (а, b). Если задан способ такого сопоставления, то говорят, что между множествами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В.

Соответствием между множествами А и В называется любое подмножество G Í А´В – декартово произведения этих множеств.

Множество А иногда называют областью отправления соответствия G, а множество В – областью прибытия.

График этого соответствия – множество упорядоченных пар (а, b) соответствия G.

Обозначается соответствие так:

G: A®B или G Í А´В = {(a, b)ç a ÎA, b ÎB, (a, b)ÎG}.

Первой проекцией или областью определения соответствия G называется множество всех первых компонентов пар (а, b)ÎG. Обозначается

пр₁ G или Dom (G) = { a ç a ÎA, (а, b)ÎG}.

Второй проекцией или областью значений соответствия G называется множество всех вторых компонентов пар (а, b)ÎG. Обозначается

пр₂ G или Im (G) = { b ç b ÎB, (а, b)ÎG}.

Каждый элемент b ÎB, соответствующий элементу a ÎA, называется образом этого элемента a. Множество всех образов элемента a ÎA будем обозначать δ; (a, G) = { b ç b ÎB, (а, b)ÎG}.

Каждый элемент a ÎA, соответствующий элементу b ÎB, называется прообразом элемента b. Множество всех прообразов элемента b ÎB будем обозначать δ;^─1 (b, G) = { a ç a ÎA, (а, b)ÎG}.

Очевидно, что множество всех образов всех элементов a ÎA есть ни что иное, как множество значений соответствия G (его вторая проекция), а множество всех прообразов всех элементов b ÎB - множество определения соответствия G (его первая проекция).

Пусть ХÍА, а YÍB. Образом множества Х при данном соответствии G называется такое множество

Г(X,G) = {b çb=δ(x,G), x Î X, b Î B}.

Прообразом множества Y называется множество Г^─1 (Y,G) = { x ç x Î A, y Î Y, (x, y) Î G}.

Рассмотренное выше соответствие относится к двум множествам и поэтому носит название бинарного соответствия. Однако этот понятие распространяется на любое конечное число множеств. Рассмотрим, например, декартово произведение n непустых множеств: А₁ ´А₂ ´…´А _п. Рассмотрим какое-либо подмножество G этого произведения, то есть отберём элементы произведения, удовлетворяющие некоторому условию

G Í А₁ ´А₂ ´…´А _п =

= {(a ₁, a ₂, … a_n) ç a ₁ÎA₁, a ₂ÎA₂,…, a_n ÎA _n, (a ₁, a ₂, … a_n)ÎG}.

Это подмножество называют п -местным соответствием на множестве А₁ ´А₂ ´…´А _п. Подобные многоместные соответствия используются в теории баз данных. Предметом же нашего рассмотрения будут бинарные соответствия.

Задача 4.4.1. Рассмотрим экзаменационную ведомость студенческой группы и установим соответствия между студентами и полученными ими оценками.

Табл.4.1

Ф.И.О. студента	Математика	Физика	История	Физкультура
Борисенко А.В.			не явился
Волошин В.П.		не доп.
Марабу Б.		не явился
Яковенко К.Д.

Решение. Обозначим множество студентов через А = {Б, В, М, Я}, множество оценок через B = {2, 3, 4, 5}. Тогда соответствие G Í A´B = {(Б,5), (Б,4), (Б,2), (В,2), (В,3), (В,5), (М,3), (М,5), (Я,4), (Я,5)}. Некоторые упорядоченные пары встречаются несколько раз, но мы их записываем только один раз.

Первая проекция (или область определения) соответствия:

пр₁G = Dom (G) = {Б,В,М,Я}, вторая проекция (область значений):

пр₂ = Im (G) = {2,3,4,5}.

Образ Б: δ;(Б,G) = {2,4,5}; образ В: δ;(B,G) = {2,3,5};

образ M: δ;(M,G) = {3,5}; образ Я: δ;(Я,G) = {4}.

Прообраз 2: δ^{─ 1}(2,G) = {Б,В}; прообраз 3: δ^{─ 1}(3,G) = {В,М}; прообраз 4: δ^{─ 1}(4,G) = {Б,Я}; прообраз 5: δ^{─ 1}(5,G) = {Б,В,М}.

Задача 4.4.2. Дано соответствие G = {(a,2), (b,1), (b,5), (d,4)} для множеств А= { a, b, c, d } и B = {1, 2, 3, 4, 5}. Найти образ множества X = { a, b } и прообраз множества Y = {3, 4}.

Решение. Найдём образы элементов множества Х: δ;(а,G)=2; δ;(b,G)={1,5}. Объединяя эти элементы в одно множество, получим образ множества Х: Г(Х,G) = {1,2,5}.

Найдём прообразы элементов множества Y: δ^{─ 1}(3,G) = Æ; δ^{─ 1}(4,G) = d. Поэтому прообразом множества Y будет множество, состоящее из одного элемента: Г^─1(Y,G) = { d }. Пустое множество Æ является частью любого множества, поэтому записи {Æ, d } и { d } выражают одну и ту же мысль.

Задача 4.4.3. Найти образ отрезка [1, 10] при соответствии y = lg x.

Решение. Функция y = lg x является непрерывной и монотонной на множестве (0, ∞) – множество А, область её изменения (-∞, ∞) – множество В. G = {(x, y)| x ÎA, y ÎB, y = lg x }. Значению х =1 соответствует у = lg1 = 0, значению х =10 соответствует у = lg10 = 1. Следовательно, образом отрезка [1, 10] будет отрезок [0, 1].

 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Дано соответствие G = {(a,4), (b,3), (b,2), (с,3), (d,4)} для множеств А= {a, b, c, d} и B = {1, 2, 3, 4}. Найти образы и прообразы элементов множеств А и В, а также и прообраз множеств X = {b, d} и Y = {2, 4}.

2. Найти прообраз отрезка [-1, 1] при соответствии y = sin x. (ответ – вся числовая ось).