Студопедия — Проверка истинности тождеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проверка истинности тождеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна






Все законы алгебры множеств можно наглядно представить и доказать, используя диаграммы Эйлера-Венна. Для этого необходимо:

1. Начертить соответствующую диаграмму и заштриховать все множества, стоящие в левой части равенства.

2. Начертить другую диаграмму и сделать то же для правой части равенства.

3. Данное тождество истинно тогда и только тогда, когда на обеих диаграммах заштрихована одна и та же область.

Замечание 3.1. Два пересекающихся круга делят всё универсальное множество на четыре области (см. рис.3.1)

 
 


1. А Ç В;

2. А Ç ;

3. Ç В;

4. Ç .

 

Рис.3.1

Замечание 3.2. Три пересекающихся круга делят всё универсальное множество на восемь областей (см. рис.3.2):

 

I. А Ç В Ç С;

II. А Ç В Ç ;

III. А Ç Ç С;

IV. А Ç Ç ;

V.
Рис.3.2
Ç В Ç С;

VI. Ç В Ç ;

VII. Ç Ç С;

VIII. Ç Ç .

Замечание 3.2. При записи условий различных примеров часто используются обозначения:

Þ - из … следует…;

Û - тогда и только тогда, когда….

Задача 3.1. Упростить выражения алгебры множеств:

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1) ;

2)

3)

Задача 3.2. Доказать тождества:

1) (АÈВ)\В = А\В;

2) АÇ(ВÈС) = А\(А\В)Ç(А\С).

Решение.

1)

2)

 

Задача 3.3. Доказать следующие соотношения двумя способами: с помощью диаграмм и с помощью определения равенства множеств.

а)

б) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);

в)

г)

Решение.

а)

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

По определению, множества Х и Y равны, если одновременно выполнены соотношения: XÍY и YÍX.

Сначала покажем, что . Пусть х – произвольный элемент множества , то есть х Î . Это означает, что х ÎU и х Ï . Отсюда вытекает, что х ÏА или х ÏВ. Если х ÏА, то тогда х ÎĀ, а значит, . Если же х ÏВ, то , а значит, . Таким образом, всякий элемент множества. . есть также элементом множества То есть

Теперь докажем обратное, то есть, что . Пусть . Если х ÎĀ, то х ÎU и х ÏА, а значит, х ÏАÇВ. Отсюда следует, что . Если же , то х ÎU и х ÏВ. Значит, х ÏАÇВ, то есть . Отсюда следует, что всякий элемент множества является также элементом множества , то есть .

Значит, , что и требовалось доказать.

б) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Пусть х ÎАÇ(ВÈС). Тогда х ÎА и х ÎВÈС. Если х ÎВ, то х ÎАÇВ, что не противоречит сказанному, а значит, х Î(АÇВ)È(АÇС). Если же х ÎС, то х ÎАÇС. Следовательно, х Î(AÇB)È(AÇC). Итак, доказано, что AÇ(BÈC) Í (AÇB)È(AÇC.

Пусть теперь х Î (AÇB)È(AÇC). Если х ÎАÇВ, то х ÎА и х ÎВ. Отсюда следует, что х ÎА и х ÎВÈС, то есть х ÎАÇ(ВÈС). Если же х ÎАÇС, то х ÎА и х ÎС. Отсюда вытекает, что х ÎА и х ÎВÈС, то есть х ÎАÇ(ВÈС). Таким образом, (AÇB)È(AÇC)Í AÇ(BÈC). Следовательно, AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC). Что и требовалось доказать.

в) Пересечение множеств А и В есть подмножеством множества С тогда и только тогда, когда множество А является подмножеством объединения множеств не-В и С.

При доказательстве достаточности мы получили, что АÇВ=Æ. Очевидно, что ÆÌС, поэтому соотношение доказано. При доказательстве был рассмотрен самый общий случай. Однако здесь возможны ещё некоторые варианты при построении диаграмм. Например, случай равенства АÇВ=С либо , случай пустых множества и так далее. Очевидно, что все возможные варианты учесть бывает затруднительно. Поэтому считается, что доказательство соотношений с помощью диаграмм не всегда является корректным.

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Необходимость. Пусть АÇВÍС и элемент х ÎА. Покажем, что в этом случае элемент множества А будет являться также и элементом множества .

Рассмотрим два случая: х ÎВ или .

Если х ÎВ, то х ÎАÇВÍС, то есть х ÎС, и, как следствие этого, .

Если же , то и . Необходимость доказана.

Пусть теперь и х ÎАÇВ. Покажем, что элемент х также будет элементом множества С.

Если х ÎАÇВ, тогда х ÎА и х ÎВ. Поскольку , значит х ÎС. Достаточность доказана.

г) Если множество А является подмножеством множества В, то тогда множество будет подмножеством множества Ā.

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Пусть АÍВ. Рассмотрим элемент х ÏВ (или ). Аналогично: х ÏА (или х ÎĀ). То есть всякий элемент множества есть также элементом множества Ā. А это может быть в случае, если . Что и требовалось доказать.

 

Задача 3.4. Выразить символически указанные области и упростить полученные выражения.

Решение.

1. Искомая область состоит из двух изолированных частей. Условно назовём их верхней и нижней. Множество, которое они изображают, можно описать так:

М = { xôx ÎA и х ÎВ и х ÏС или х ÎС и х ÏА и х ÏВ}.

Из определения операций над множествами получим:

М = ((АÇВ)\С)È(С\А\В).

Запишем это выражение с помощью основных операций – дополнения, объединения и пересечения:

.

Упростить это выражения нельзя, поскольку имеем по одному вхождению каждого символа. Это и есть простейший вид данной формулы.

2. Данную область можно рассматривать как объединение множеств А\В\С и АÇВÇС. По определению M = { x ô x ÎA и x ÏВ и х ÏС или х ÎА и х ÎВ и х ÎС}. Упростим:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Упростить:

а)

б) (А¸В)È(АÇВ); (ответ АÈВ);

в) (ответ V).

2. Доказать с помощью диаграмм, законов алгебры множеств и определения равенства множеств:

а) (АÈВ)\В = А\В;

б) АÇ(ВÈС) = А\(А\В)Ç(А\С);

в) АÈВ = АÇВ Þ А=В;

г) А\В = Æ Û АÇВ = А.

3. Выяснить, существует ли множество Х, удовлетворяющее при любом А равенству:

а) АÈХ = А; (ответ Æ);

б) АÇХ = А; (ответ U).







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 7856. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия