Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Множества на прямой





Пусть а < b. Напомним, что отрезок [ a, b ] определяется неравенствами а £ x £ b; интервал (a, b) – неравенствами а < x < b (при этом допускается, что а = – ¥ или (и) b = + ¥); полуинтервал [ a, b) – неравенствами а £ x < b; и, наконец, полуинтервал (a, b ] – неравенствами а < x £ b.

Далее, определим окрестность точки. С этой целью напомним, что

Эквивалентное определение модуля таково:

.

Например, ; .

Модуль есть расстояние от точки до нуля.

Следовательно, есть расстояние между x и y:

Пусть e > 0 – число. Неравенство равносильно двойному неравенству a – e < x < a + e:

Множество точек x, удовлетворяющих этому неравенству (т.е. отстоящих от а менее чем на e), назовем e- окрестностью точки а, или просто окрестностью точки а. Обозначим ее . Окрестность без точки а, т.е. множество , будем называть проколотой окрестностью точки а.

Множество G называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и некоторую ее окрестность. Например, интервал (a, b) есть открытое множество.

Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

Пересечение конечного числа открытых есть открытое множество (Пустое множество открыто по определению). Множество В = ú\ А называется дополнением к А (в ú) и обозначается CA. Оно состоит из всех точек x Ï А.

Множество F называется замкнутым, если дополнение к нему открыто. Например, отрезок [ a, b ] есть замкнутое множество, поскольку дополнение к нему есть (– ¥, а) È (b, + ¥) – открытое множество.


 
 

Множества Æ и ú открыты и замкнуты одновременно.

Полуинтервал [ a, b) (а < b) – пример множества ни открытого, ни замкнутого.

Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Объединение конечного числа замкнутых есть замкнутое множество.

Множество А называется ограниченным, если $ М > 0 такое, что " x Î A, т.е. А Ì [– М, М ]. Ограниченное и замкнутое множество на прямой называют также компактным множеством, или компактом. Например, отрезок [ a, b ] – компакт.







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 395. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия