Последовательность и ее предел

Пусть имеется правило, по которому каждому натуральному n ставится в соответствие вещественное число : . В этом случае говорят, что задана последовательность , ,… Коротко ее обозначают . При этом число называют n -м членом, или общим членом, последовательности .

Примеры:

а) 1, 2, 3, 4, 5,… Здесь . Для нее . (Чтó это значит, мы определим позже).

б) – 1, – 2, –3,…, т.е. . Для нее .

в) –1, 2, – 3, 4, –5, 6,… Þ . Здесь (без знака!).

г) 1, , , , ,… Þ . Здесь (запомните!), точнее (стремится к нулю справа, оставаясь положительным).

д) (стремится к нулю слева).

е) – 1, , , , ,…Þ . Здесь (без знака).

ж) –1, 1, –1, 1, –1, 1,… . Эта последовательность никуда не стремится (хотя и ограничена).

з) , , , , ,… Þ , т.к.

, а .

Итак, , если «неограниченно приближается» к а с ростом n. Формальное определение таково: при n ® ¥, или, что то же самое, , если "e > 0 $ N = N (e) такое, что " n > N.

Другими словами, (), если для любой окрестности точки а найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности (поясните эквивалентность определений).

УПРАЖНЕНИЕ.Докажите, что

а) при ; б) при , если .

 

Говорят, что последовательность монотонно возрастает (не убывает), если " n ( " n).

Говорят, что последовательность ограничена сверху, если
$ М > 0 такое, что " n.

Аналогично определяются монотонно убывающая (не возрастающая) последовательность и последовательность, ограниченная снизу.

ТЕОРЕМА. Монотонно возрастающая (или даже неубывающая) ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

Другими словами, если для всех n и , то и .

Аналогичное утверждение справедливо и для монотонно убывающей (не возрастающей) ограниченной снизу последовательности (сформулируйте его).

6. Число е

Рассмотрим последовательность . Имеем:

, ,

,

и т.д. Можно показать, что " n и что " n. Следовательно, существует предел этой последовательности, обозначаемый е:

.

Это обозначение предложил Л. Эйлер (Euler, 1707–1783), великий математик, родившийся в Швейцарии и работавший в России.

Число е играет в математике не менее важную роль, чем p (в этом мы не раз убедимся). Приближенно оно равно 2,7. Более точное значение таково: е = 2,718281828… Год рождения Л. Толстого (1828) стоит здесь дважды подряд, но не является периодом, т.к. число е иррационально (дальнейшие цифры 4590…). Заметим также, что , в то время как показатель степени . Таким образом, есть «неопределенность» типа .

Если в этом пределе величину заменить нулем, то в пределе получим единицу, поскольку единица в любой степени есть единица. Если же заменить любой сколь угодно малой, но фиксированной положительной величиной, то в пределе получим + ¥. Более того, + ¥ мы получим и в том случае, когда заменим на величину , также стремящуюся к нулю, но медленнее, чем (либо заменим показатель степени n на быстрее растущую величину ). Заменив же величину на величину , быстрее стремящуюся к нулю (или показатель степени п на показатель ), мы получим в пределе 1. В этом предлагается убедиться самостоятельно или с помощью преподавателя на практических занятиях. Там же вы увидите, что неопределенность типа может давать и любые другие ответы между 1 и + ¥. С неопределенностями других типов мы еще не раз встретимся при вычислении пределов.

Функция называется экспонентой и обозначается exp(x).

Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x:

.

(Напомним, что , поскольку ).

 

ЛЕКЦИЯ 2. ФУНКЦИЯ, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ