Сюръекция, инъекция, биекция
Пусть X и Y – подмножества числовой оси. В этом случае f: X ® Y есть числовая функция числового аргумента. Для нее взаимная однозначность вытекает из монотонности. Напомним, что функция называется монотонно возрастающей на отрезке [ а, b ], если из условий УТВЕРЖДЕНИЕ. Монотонная функция является взаимно-однозначной. (Докажите это утверждение). Отображение
|
Говорят, что f отображает X на Y (и пишут 
), если область значений Y совпадает с f (Х), т.е. Y = f (Х). Это означает, что для любого y Î Y найдется х Î Х такой, что y = f (x) (т.е. у любого 
Говорят, что отображение f: X ® Y взаимно-однозначно (1:1) (и пишут 
), если из условий 
, 
следует, что 
, т.е. различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции (в этом случае каждый образ имеет не более одного прообраза). Взаимно-однозначное отображение называют также инъективным, или инъекцией.
, 
вытекает, что 
. Аналогично определяется монотонно убывающая на отрезке функция (определите). Функция монотонна на отрезке, если она монотонно возрастает или монотонно убывает на этом отрезке.
, являющееся сюръективным и инъективным одновременно, называется биективным, или биекцией («би» – «два»). Итак, биекция = инъекция + сюръекция.
