Сложная функция, или суперпозиция

Пусть даны три множества X, Y, Z и два отображения f: X ® Y и g: Y ® Z.

Тогда можно построить отображение из Х в Z по правилу z = g (f (x)) " х Î Х, т.е. элементу х отображение f сопоставляет элемент у = f (х), а элементу у отображение g сопоставляет элемент z = g (y) = g (f (x)). Тем самым определена функция F: X ® Z такая, что F (x) = g (f (x)) " х Î Х. Она обозначается и называется сложной функцией или суперпозицией отображений f и g.

Например, если y = x ² = f (x), а z = sin y = g (y), то F (x) = g (f (x)) = sin x ² – сложная функция, полученная как суперпозиция «квадрата» и синуса.

 

Обратная функция

Пусть – биекция. Построим отображение из Y в Х следующим образом. Возьмем произвольный элемент у Î Y. Поскольку f отображает «на», то у него обязательно имеется прообраз х, т.е. такой элемент, что f (x) = y. Этот прообраз является единственным, поскольку отображение f взаимно-однозначно. Итак, произвольному у Î Y мы сопоставили единственный х Î Х. Обозначим его х = g (y). Мы получили отображение g: Y ® X, которое называется обратным к отображению f: X ® Y и обозначается g = f ^{– 1}. При этом для х Î Х и у Î Y имеем

x = g (y) Û y = f (x)

и, следовательно

g (f (x)) = x " х Î Х; f (g (y)) = y " у Î Y.

 

Пример

Всюду в дальнейшем область определения и область значений функции – подмножества числовой оси.

Напомним определение функции у = sin х: дуге х единичной окружности сопоставляется проекция на вертикальную ось соответствующего радиус-вектора, составляющего с горизонтальной осью угол х (см. рис.).

		x

В этом и состоит «правило», по которому каждому аргументу х ставится в соответствие значение функции у = sin х. При этом областью определения служит вся числовая ось ú. Область значений можно выбирать по-разному. Если взять Y = ú, то отображение не будет сюръективным. Поэтому положим Y = [–1, 1], и тогда sin: ú [–1, 1] – сюръекция. Но поскольку sin периодическая функция, инъекцией это отображение не является. Чтобы получить 1:1 функцию, надо сузить область определения до какого-либо отрезка монотонности синуса. Выберем от резок . Он хорош тем, что симметричен относительно нуля, на

x

x

нем синус сохраняет нечетность
(f (– x) = – f (x)) и принимает все свои зна чения от – 1 до 1. Итак,

– биекция.

Следовательно, существует обратная функция

.

Она также является нечетной. Если , , то

arcsin y = x Û y = sin x

и, следовательно,

arcsin (sin x) = х ; sin (arcsin y) = y .

 

ЗАДАНИЕ. Вспомните определения arccos x и arctg x.