Студопедия — Министерство образования Российской Федерации. Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи сназывается результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Министерство образования Российской Федерации. Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи сназывается результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.

Обозначение: abc = [ ab ] c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S·| c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.

Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.

2) Если a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ ab ] c = (YaZb – YbZa) Xc + (XbZa – XaZb) Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:

следовательно, векторы компланарны.

 

Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),

С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).

Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:

AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =

Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.

Министерство образования Российской Федерации




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Смешанное произведение векторов. | 

Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 295. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия