Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств Определение 8. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными. Определение 9. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции: 1) находим производную; 2) находим критические точки; 3) разбиваем область определения критическими точками на интервалы; 4) определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания. Определение 10. Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена, и, проходя через которые, производная меняет знак.
|
и 
соответственно.
Находим критические точки:
1) находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере x=0;
2) находим нули знаменателя: 
.
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим «+» над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим «-» и т.д. К примеру, 
, следовательно, над первым слева интервалом ставим «+».
Схематично плюсами/минусами отмечены промежутки где производная положительна/отрицательна. Возрастающие/убывающие стрелочки показывают направление возрастания/убывания.
Делаем вывод:
- функция возрастает на промежутке 
и на промежутке 
;
- функция убывает на промежутке 
и на промежутке 
.
В нашем примере точкой экстремума является точка х=0. Значение функции в этой точке равно 
.
Так как производная меняет знак с «+» на «-» при прохождении через точку х=0, то (0; 0) является точкой локального максимума (если бы производная меняла знак с «-» на «+», то мы имели бы точку локального минимума).
