Выражение определителя через элементы матрицы

1.1. Перестановки. Упорядоченная совокупность чисел , в которой

1) , ;

2) при ,

называется перестановкой из чисел .

Перестановка называется натуральной. Преобразование перестановки, при котором два ее числа и с номерами меняются местами, называется транспозицией.

1.2. Говорят, что два числа и в перестановке образуют инверсию (беспорядок), если большее из них предшествует меньшему, т.е. если при , и порядок – в противном случае, т.е. если при . Перестановка называется четной, если общее число инверсий в ней четно, и нечетной – в противном случае. Общее число инверсий в перестановке обозначается символами или .

1.3.Теорема. Число всевозможных перестановок из чисел равно .

1.4. Теорема. Каждая транспозиция меняет четность перестановки.

1.5. Рассмотрим систему величин (или ), которые по определению раны нулю, если содержат два или большее число равных индексов, и равны +1 или -1, в зависимости от того, четная или нечетная перестановка . Данные символы называются символами Леви-Чивитта. Можно сказать, что

,

и при одинаковых значениях индексов равен нулю.

Символ = , если есть некоторая перестановка значений индексов , считая, что все эти значения различны; при этом берется +1, если перестановка четная и -1, если нечетная. Во всех остальных случаях =0 (т. е. если среди значений или среди значений есть одинаковые, а также среди значений есть такие, каких нет среди и наоборот). Данный символ называется обобщенным символом Кронекера(альтернатором). Имеем

= ,

= .

 

1.6. Пусть А – квадратная матрица - го порядка. Рассмотрим произведение элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца .

Заметим, что в этом произведении сомножители упорядочены в порядке возрастания номеров строк, при этом номера столбцов образуют перестановку из чисел , так как и при . Произведений такого вида в матрице столько, сколько существует перестановок из чисел, т.е. .

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы -го порядка называется сумма произведений элементов матрицы, выбранных по одному из каждого столбца и каждой строки, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком плюс в случае четной перестановки номеров столбцов и со знаком минус в случае нечетной перестановки.

Обозначение:

Итак,

,

где суммирование ведется по всевозможным перестановкам .

С помощью введенного обобщенного символа Кронекера, определитель может быть записан в одном из двух видов:

или

 

.

 

1.7. Вычислим определитель второго порядка

.

По определению альтернатора , , , . Поэтому для определителя второго порядка имеем

 

,

или в другой записи

 

.

1.8. Для определителя третьего порядка:

=

.

1.9. Если в квадратной матрице зачеркнуть -строку и -столбец, то получим матрицу -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором элемента определителя матрицы и обозначается через .

1.10. Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется величина .