Определение зависимости прогиба прямоугольных конструкций от геометрических размеров образца

 

 

 

 

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Цель работы:

определение характеристик упругости стали и дерева по их деформации на растяжение и изгиб;

определение зависимости прогиба прямоугольных конструкций от геометрических размеров образца

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

 

Все реальные тела под действием внешних сил деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры. Различаются деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения и более сложные виды деформации, которые всегда можно свести к двум: растяжение (сжатие) и сдвиг.

Если деформации исчезают после прекращения действия приложенных сил, то они называются упругими. Деформации, частично сохраняющиеся после снятия нагрузки, называются неупругими или пластическими. В настоящей работе рассматриваются только процессы, протекающие в материале при упругих деформациях.

 

Рассмотрим деформацию растяжения однородного круглого стержня AB длиной l₀, один конец которого жестко закреплен. Если к другому концу стержня приложить силу (рис. 1), его длина станет l. В качестве меры деформации растяжения служит абсолютное удлинение

x = Dl = l – l₀ (1)

и относительное удлинение

. (2)

Опыт показывает, что при деформации растяжения или сжатия изменяются также и поперечные размеры стержня. Пусть d₀ и d – диаметры стержня до и после деформации растяжения. При деформации растяжения диаметр стержня уменьшается, т.е. d < d₀. Величина

(3)

называется относительным поперечным сжатием стержня. Относительное изменение объема стержня

, (4)

так как e и d много меньше единицы, и их произведениями можно пренебречь.

Величина, равная отношению относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона:

. (5)

Коэффициент Пуассона m зависит только от материала тела и является одной из важных характеристик его упругих свойств.

Выделим мысленно в стержне некоторое поперечное сечение C площадью S. Часть BC стержня находится в равновесии. Следовательно, в выделенном сечении со стороны другой части стержня AC действует упругая сила , равная по модулю внешней силе. Поскольку положение сечения С выбрано произвольно, то это значит, что упругая сила, действующая в любом поперечном сечении стержня равна по модулю внешней силе.

Для характеристики деформированного состояния стержня вводят понятие нормального напряжения, которое численно равно упругой силе, действующей на единицу площади сечения, перпендикулярного силе.

, (6)

где dF_у – упругая сила, перпендикулярная элементарной площадке dS, в пределах которой деформацию можно считать однородной.

Отметим, что сила упругости направлена противоположно направлению абсолютного удлинения. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любой точке поперечного сечения стержня. Как показывает опыт, при малых деформациях между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость

s = Ee. (7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует упругие свойства вещества и называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Модуль продольной упругости численно равен нормальному напряжению, которое возникает в теле при его относительном удлинении, равном единице, т.е. при увеличении длины стержня в два раза. Формула (7) выражает закон Гука, который формулируется следующим образом: в пределах упругости напряжение, возникающее в теле, прямо пропорционально относительной деформации.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного вещества. Все остальные упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Из (2), (6) и (7) следует, что при однородной деформации растяжения модуль силы упругости

или

, (8)

где k– коэффициент упругости стержня, определяемый как

(9)

Следует отметить, что закон Гука выполняется только на начальных стадиях деформации. Для каждого материала существует критическое нормальное напряжение, называемое пределом пропорциональности [ ], превышение которого приводит к тому, что деформация еще может считаться упругой (остаточная деформация образцов не превышает 5%), но закон Гука уже не выполняется.

Рассмотрим возможности расчетов характеристик упругих свойств материалов на примере двух наиболее часто встречающихся на практике типов деформации: деформации растяжения и деформации изгиба.

Деформация растяжения. Пусть проволока диаметром поперечного сечения d, начальной длины l_{0 ,} изготовленная из исследуемого материала, растягивается под действием груза массой m. При этом в материале возникают силы упругости, определяемые по закону Гука (рис.2).

 

Согласно условию статического равновесия

Учитывая (9), получим

(10)

Поперечное сечение стержня на практике удобно рассчитывать по измеренному микрометром диаметру проволоки d

Равенство (10)в этом случае можно представить в виде

,

откуда

(11)

где коэффициент пропорциональности a – практически постоянная для данного образца величина.

Если, изменяя массу груза m, каждый раз измерять абсолютное удлинение проволоки Dl и построить график Dl = f(m), то можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика D(Dl)/Dm легко определить коэффициент пропорциональности a в (11) и рассчитать модуль продольной упругости (модуль Юнга) проволоки:

(12)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок Dm и соответствующий ему интервал абсолютных удлинений D(Dl) на графике следует выбирать по возможности большими (но в пределах пропорциональности).