Правило трёх сигм

Преобразуем формулу, полагая. В итоге получим.

Если t=3 и, следовательно,, то, т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события практически считаются невозможными. В этом и состоит сущность правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трёх сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

 

Показательное распределение

Показательным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

 

где - постоянная положительная величина.

Найдём функцию распределения показательного закона

. Итак,

Найдём математическое ожидание =;.

Найдём дисперсию

=

=;;

Найдём вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины, которая распределена по показательному закону, заданному функций распределения

 

 

Функция надёжности

Всякое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное» будем называть элементом.

Пусть элемент начинает работать в момент времени, а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно время, меньшее, то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом функция распределения определяет вероятность отказа за время длительностью. Тогда вероятность безотказной работы за это же время длительностью, т.е. вероятность противоположного события, равна.

Функцией надёжности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью:

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого. Тогда.

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую равенством, где - интенсивность отказов.

Пример 16. Прибор состоит из блоков; выход из строя каждого блока означает

выход из строя прибора в целом. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надёжность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна. Найти надёжность прибора в целом.

Р е ш е н и е., где - вероятность отказа. Из рисунка следует, что прибор откажет, если откажет хотя бы один из блоков. По теореме определения вероятности появления хотя бы одного события имеем: вероятность отказа равна разности между единицей и вероятностью того, что не откажет ни один из блоков, т.е.. Тогда.

Пример 17. Для повышения надёжности прибора он дублируется другим точно таким же прибором. Надёжность каждого прибора равна. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надёжность переключающего устройства равна единице). Определить надёжность системы двух дублирующих друг друга приборов.

Р е ш е н и е., где - вероятность отказа. Из рисунка следует, что система откажет, если откажет одновременно каждый из блоков. По теореме умножения независимых событий имеем:. Следовательно,.

Пример 18. Определить надёжность системы, представленной на рисунке.

Р е ш е н и е.

Использованная литература:

 

Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для студентов вузов. –М.: Высшая школа, 2002. -479 с.

Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов. –М.: Высшая школа, 2002. -404 с.

Белинский В.А. и др., Высшая математика с основами математической статистики. –М.: Высшая школа, 1965. -516 с.

Маркович Э.С., Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. –М.: Высшая школа, 1972. -480 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для студентов втузов, ч. 2. –М.: Высшая школа, 1974. -416 с.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., Теория вероятностей: учебное пособие для студентов втузов. –М: Наука, 1973. -366 с.