Формула Бернулли

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в испытаниях событие А наступит раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. А так как вероятности этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:.

 

 

Полученная формула называется формулой Бернулли.

 

Пример 8. Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадёт гербом вверх?

Р е ш е н и е..

.

 

Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли применяется, как правило, при небольших значениях. Если число испытаний достаточно велико, то в этом случае применяется локальная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз, приближённо равна значению функции

.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции, соответствующие положительным значениям аргумента. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция четна, т.е..

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях ровно раз, приближённо равна

.

Пример 9. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Р е ш е н и е.

Вычислим =. По таблице находим.

 

 

Формула Пуассона

Чуть изменим условие поставленной задачи, а именно, найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала (), событие наступит ровно раз. В этих случаях (велико, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно, Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (т.к., то) =. Приняв во внимание, что имеет большое значение, вместо найдём. При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение, сохраняет постоянное значение, то при вероятность. Итак,

 

 

Пример 10. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Р е ш е н и е.

Интегральная теорема Лапласа

Как вычислить вероятность того, что событие А появится в испытаниях не менее раз и не более раз (для краткости будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях от раз, приближённо равна определённому интегралу где и.

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, т.к. неопределённый интеграл не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения функции Ф() для положительных значении и для =0. Для <0 пользуются той же таблицей, учитывая, что функция Ф() нечётна, т.е. Ф() = Ф(). В таблице приведены значения интеграла лишь до =5, т.к. для >5 можно принять Ф() = 0,5. Функцию Ф() называют функцией Лапласа.

Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем выражение (1).

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях отраз,

Где и.

Пример 11. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Р е ш е н и е.

 

;.

 

Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.

 

 

Случайные величины