Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин, так как в этом случае не предоставляется возможным перечислить все возможные значения. Поэтому вводят понятие функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее, т.е. вероятность события, обозначим через.

Функцией распределения называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величин в результате испытания примет значение, меньшее, т.е.

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

•.

• Если, то.

В самом деле, пусть. Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, можно подразделить на два несовместных события: примет значение, меньшее и примет значение, удовлетворяющее неравенству т.е.). По теореме сложения имеем:), откуда

) или. Т.к. любая вероятность есть число неотрицательное, то или.

Если и, то. Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале, равна приращению функции распределения на этом интервале:

 

• Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу, то

а), б). График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Пример 14. Дан ряд распределения случайной величины:

10 20 30 40 50

0,2 0,3 0,35 0,1 0,05

Построить функцию распределения вероятности этой случайной величины.

Р е ш е н и е. Если

если

если 20

если

если 40<x

если x>50, то F(X)=P(X<)=0,2+0,3+0,35+0,1+0,05=1.