Сведение исходной задачи к краевой

Принцип максимума является необходимым, условием оптимальности. Если исключить управление из условия максимума, то есть найти такую функцию , что и подставить результат в уравнение (I), (3), то получим следующую краевую задачу для системы из уравнений (краевая задача):

(5)

Таким образом, если задача (1), (2) имеет решение, то оптимальная траектория находится среди решений краевой задачи (5). В сведении вариационной задачи (задача минимизации функционала) к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений и состоит конечный результат применения принципа максимума к задаче оптимального управления.

В общем случае принцип максимума не является достаточным условием оптимальности: ему могут удовлетворить и не оптимальные управления.

3. Простейшая задача с нефиксированной продолжительностью процесса

Пусть момент окончания процесса в системе нефиксирован. Тогда простейшая задача несколько изменится. Допустимыми управлениям называются -мерные функции

, (6)

которые непрерывны всюду при за исключением, возможно, конечного числа точек на каждом ограниченном отрезке, где они имеют разрывы первого рода. Критерий качества теперь может явно зависеть от длительности процесса.

. (7)

Задача оптимальности состоит в поиске среди и доступных управлений оптимального момента и оптимального управления , на которой критерий качества (7) достигает минимального значения

Теорема 2. Для того, чтобы число и управление , доставляли решение задаче (1), (6), (7) необходимо, чтобы выполнялись условия:

.

Здесь -оптимальная траектория (решение уравнения (1) при ) -решение уравнения

при .