Динамика урожайности картофеля в N-й области

Год
Урожайность, Ц/га

По данным табл. 3.2 определим среднегодовые уровни уро­жайности картофеля по пятилетиям.

Средние уровни принято относить к середине усредняемого отрезка времени, т.е. в нашем примере к средним годам каж­дого пятилетия.

Если, например, с 1-го числа месяца по 18-е число на пред­приятии работали 45 человек, с 19-го по 27-е - 48 человек, а с 28-го по 31-е число - 54 человека, то среднее списочное число работников за месяц составит:

В моментном ряду смысл среднего уровня заключается в том, что он характеризует уже не состояние объекта в отдельные моменты, а его среднее, обобщенное состояние между на­чальным и конечным моментами учета. Из этого следует, что уровни, относящиеся к начальному и конечному моментам, иг­рают не ту роль, что уровни, относящиеся к моментам внутри изучаемого отрезка времени. Начальный и конечный уровни находятся на границе изучаемого интервала, они наполовину относятся к предыдущему и последующему интервалам и лишь наполовину к изучаемому. Уровни, относящиеся к моментам внутри усредняемого интервала, целиком относятся только к нему. Отсюда получаем особую форму средней арифметичес­кой величины, называемой хронологической средней:

(3.8)

 

Проблема вычисления среднего уровня моментного ряда при неравных промежутках между моментами является спорной и здесь не рассматривается.

Если известны точные даты изменения уровней моментного ряда, то средний уровень определяется как

 

(3.9)

 

где ti - время, в течение которого сохранялся уровень.

Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) оп­ределяется как простая арифметическая средняя из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных изменений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения па число усредняемых отрезков времени от базисно­го до сравниваемого периода:

(3.10)

Например, производство телевизоров в Российской Федера­ции в 1980 г. составило 4013 тыс. шт., а в 1990 г. - 4717 тыс. шт.

Среднегодовой абсолютный прирост производства телевизоров за 10 лет составил:

Для правильной интерпретации показатель среднего абсо­лютного изменения должен сопровождаться указанием двух еди­ниц времени: 1) времени, за которое он вычислен, к которому относится и которое он характеризует (в нашем примере это десятилетие - 1980-1990 гг.); 2) время, на которое показатель рассчитан, время, входящее в его единицу измерения, - 1 год. Можно рассчитать среднемесячный абсолютный прирост за те же 10 лет - он будет в 12 раз меньше среднегодового прироста.

Среднее ускорение абсолютного изменения применяется реже. Для его надежного расчета даже при слабых колебаниях уров­ней требуется применять методику аналитического выравнива­ния по параболе II порядка. Не рекомендуется измерять среднее ускорение без абстрагирования от колебаний уровней. Для бо­лее грубого, приближенного расчета среднего ускорения можно воспользоваться средними годовыми уровнями, сглаживающи­ми колебания. Например, среднегодовое производство мяса в Российской Федерации составляло:

Пятилетие	1976-1980	1981-1985	1986-1990
Прирост, млн т	7,40	8,09	9,68

 

Абсолютный прирост за второе пятилетие по сравнению с первым составил 0,69 млн. т, за третье по сравнению со вторым 1,59 млн. т. Следовательно, ускорение в третьем пятилетии по сравнению со вторым составило: 1,59 - 0,69 = 0,90 млн. т в год за пять лет, а среднегодовое ускорение прироста равно: 0,90: 5 = ⁼ 0,18 млн. т в год за год. Среднее ускорение требует указания трех единиц времени, хотя, как правило, две из них одинаковы: период, на который рассчитан прирост, и время, на которое рас­считано ускорение.

Средний темп изменения определяется наиболее точно при аналитическом выравнивании динамического ряда по экспоненте. Если можно пренебречь колеблемостью, то средний темп определяют как геометрическую среднюю из цепных темпов роста за п лет или из общего (базисного) темпа роста за п лет:

(3.11)

Например, стоимость потребительской корзины за год в ре­зультате инфляции возросла в шесть раз. Каков средний месяч­ный темп инфляции?

т.е. в среднем за месяц цена увеличивалась на 16% к уровню пре­дыдущего месяца.

Средний темп роста так же, как средний прирост, следует сопровождать указанием двух единиц времени: периода, кото­рый им характеризуется, и периода, на который рассчитан темп, например, среднегодовой темп за последнее десятилетие; сред­немесячный темп за полугодие и т.п.

Если исходной информацией служат темпы прироста и нуж­но вычислить их среднегодовую величину, то предварительно следует все темпы прироста превратить в темпы роста, приба­вив 1, или 100%, вычислить их среднюю геометрическую и сно­ва вычесть 1, или 100%. Интересно, что ввиду асимметрии темпа прироста и темпа сокращения при равных их величинах общий темп прироста всегда отрицателен. Так, если за первый год объем производства вырос на 20%), а за второй снизился на 20%> (тем­пы цепные), то за два года имеем:

 

Применяя для вычисления среднего темпа среднюю геомет­рическую, мы опираемся на соблюдение фактического отноше­ния конечного уровня к начальному при замене фактических темпов на средние. В практических задачах может потребовать­ся вычисление среднего уровня при условии соблюдения отно­шения суммы уровней за период к уровню, принятому за базу. Например, если общий выпуск продукции за пятилетие должен составить 800% к базисному (среднегодовому за предыдущие 5 лет выпуску), или, что то же самое, среднегодовой уровень должен составить 160% к базовому уровню, каков должен быть среднегодовой темп роста выпуска продукции? В 1974 г. укра­инские статистики А. и И. Соляники предложили следующую приближенную формулу для среднего темпа роста, удовлетво­ряющую этому условию:

где т - число суммируемых уровней;

У 0 - базисный уровень.

Темп роста данного вида называют параболическим (отсю­да обозначение ), так как он вычисляется по уравнению па­раболы порядка т. При т. = 5 имеем:

Расчет по этому среднегодовому темпу дает сумму выпуска за 5 лет в 8,069 раза больше базисной, т.е. приближение хорошее. В общем виде проблема параболических темпов исследована са­ратовским статистиком Л.С. Казинцом [8]. Им составлены таб­лицы, с помощью которых, зная отношение суммы уровней к базисному уровню и число суммируемых уровней т, можно по­лучить . Таблица Л.С. Казинца рассчитана на основе на­хождения корней уравнения:

Для нашего примера таблица Л.С. Казинца дает среднего­довой темп роста 116,1% и сумму выпуска в 8,00016 раза боль­ше базисной.

Интересную задачу представляет определение срока, за кото­рый ряд с большим средним показателем динамики, но меньшим начальным уровнем догонит другой ряд с большим начальным уровнем, но меньшим показателем динамики. Для абсолютных приростов задача элементарна: имеем один ряд с базисным уров­нем и средним абсолютным приростом ; второй ряд с по­казателями соответственно , , причем > ; < . Уровень первого ряда сравняется с уровнем второго ряда через

Та же задача может быть решена на основе ускорений. Име­ем первый ряд с базисным уровнем , базисным абсолютным изменением и средним ускорением ; второй ряд - с пока­зателями . При каком числе п периодов (лет) после базисного уровни рядов сравняются? Тенденции рядов пара­болические:

Приравняв правые части уравнений, получим:

Искомый срок п является корнем этого квадратного урав­нения. Если, например, имеем:

Второй ряд догонит первый по уровню через 38,4 года; уров­нирядов были одинаковы 10,4 года назад. Будущие равные уров­нисоставляют 3510, а прошлые были равны 192.

Если мы хотим найти срок п, через который уровни рядов сравняются, то эту задачу можно решить на основе темпов из­менения. Имеем:

т.е. искомый срок равен частному отделения разности логариф­мов уровней рядов в базисном периоде на разность логарифмов темпов изменения, только переставленных при вычитании. Обычно и в числителе, и в знаменателе от большего логарифма вычитается меньший. Например, первый ряд имеет: = 300; =1,09; второй ряд - = 100; = 1,2, тогда:

Через 11,43 года уровень второго ряда сравняется с первым при сохранении экспоненциальных трендов обоих рядов.