Особенности оценки параметров нелинейных моделей

 

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями. Так, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т. д.), функции спроса (зависимость между спросом на товары, услуги и их ценами или доходом) и др.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов (параметров).

Различают два класса нелинейных регрессий

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяют в случаях, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. Тогда использует методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Применяемые чаще всего в экономическом анализе виды нелинейных регрессий следующие: полином второго порядка, гипербола, степенная функция и показательная функция.

Однако параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводиться с помощью МНК путем решения нормальных уравнений.

Регрессии, нелинейные по переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

1. полином второго порядка ŷ_x = a₀ + a₁x_i + a₂x_i² (3.25)

Нормальные уравнения:

;

; (3.26)

.

 

_2. гипербола ŷ_x = a₀ + a₁ (3.27)

Нормальные уравнения

;

. (3.28)

Или заменим 1/ x_i на новую переменную X. В результате получим линейное уравнение:

Ŷ_x = a₀ +a₁X. (3.29)

Параметры определяются из следующих формул:

a₀ = (3.30)

Линеаризация регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

1. степенная функция ŷ_x (3.31)

Для определения параметров степенной функции с помощью МНК необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln ŷ_x (3.32)

Это уравнение представляет собой прямую линию на графике, по осям которого откладываются не сами числа, а их логарифмы (так называемая логарифмическая школа или логарифмическая сетка).

Пусть Y=ln ŷ_x, X=ln x_i, A=ln a₀. Тогда уравнение примет вид

Y = A + a₁X (3.33)

Параметры модели определяются по следующим формулам:

(3.34)

2. показательная функция

ŷ_x (3.35)

Линеаризацию переменных проведем путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln ŷ_x = (3.36)

Уравнение изображается прямой линией на полулогарифмической сетке, которая получается как сочетание натуральной шкалы для значения независимой переменной х и логарифмической шкалы – для значения зависимой переменной у.

Пусть Y = ln ŷ_x, A = ln a₀, B =ln a₁. Тогда уравнение примет вид

(3.37)

Параметры модели определяются по следующим формулам:

(3.38)

При использовании любой формы криволинейной корреля­ционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью индекса корреляции, который опреде­ляется аналогично коэффициенту корреляции для линейной формы связи.

Уравнение корреляционной связи должно быть по возмож­ности более простым, чтобы сущность изучаемой зависимости между переменными проявлялась достаточно четко, а параметры уравнения поддавались определенному экономическому толкованию. Вопрос выбора соответствующего уравнения связи решается в каждом случае отдельно.

3. Методика построения модели парной регрессии

По пятнадцати сельскохозяйственным предприятиям Орловской области за 200х г. известны значения двух признаков:

Таблица 3.1. – Исходные данные для анализа

№	Валовой доход отрасли растениеводства, приходящийся на 100 га пашни (тыс. руб.)	Затраты труда в растениеводстве на 100 га пашни, тыс. чел.-час./га
	111,03	1,94
	128,90	3,45
	120,31	1,83
	112,54	2,78
	93,13	1,68
	64,82	2,55
	107,75	2,37
	211,15	4,10
	103,97	3,20
	199,31	3,40
	138,95	3,42
	105,81	2,80
	88,15	3,24
	121,25	2,45
	105,62	2,27
Итого	1812,68	41,48
Среднее	120,85	2,74

Требуется:

1. Вычислить описательные статистики. Проверить характер распределения признаков. При необходимости удалить аномальные наблюдения.

2. Построить поле корреляции. Выдвинуть гипотезу о форме связи признаков.

3. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить линейное уравнение парной регрессии у от х;

б) дать экономическую интерпретацию уравнению регрессии исчислив средний коэффициент эластичности , парный линейный коэффициент корреляции – r, коэффициент детерминации – D;

в) оценить полученную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера и сделать вывод;

г) провести статистическую оценку значимости коэффициентов регрессии и корреляции (с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей).

4) Рассчитать параметры регрессии, построенной по уравнению равносторонней гиперболы. Оценить полученную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, сделать вывод.

5) Рассчитать параметры степенной регрессионной модели. Оценить полученную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, сделать вывод.

6). Обосновано выбрать лучшую модель и рассчитать по ней прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 25% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости α = 0,05.

Порядок выполнения:

Для нашего примера:

Y – Валовой доход отрасли растениеводства, приходящийся на 100 га пашни (тыс. руб.) (результативный признак);

Х – Затраты труда в растениеводстве на 100 га пашни, тыс. чел.-час./га (факторный признак).

Прежде чем приступить непосредственно к анализу, необходимо проверить выполнение трех основных условий применения корреляционно-регрессионного анализа.

1) 1.1.Проверим, насколько для данной совокупности действует Закон больших чисел. В данном случае рекомендуется отобрать из генеральной совокупности с помощью случайной бесповторной выборки как минимум 10 объектов для исследования (число наблюдений должно хотя бы в 10 раз превышать количество факторных признаков в модели). Данное правило соблюдено. Зависимость изучается по данным 15 предприятий.

1.2. Проверим характер распределения. Для этого рассчитаем среднее квадратическое отклонение (σ) и коэффициент вариации (v) для каждого из показателей по формулам:

(1)

(2)

(3)

По исходным данным рассчитаем X², Y², ΣX², ΣY²(таблица 3.2) Рассчитаем среднее квадратическое отклонение для каждого из признаков:

Таблица 3.2. - Расчетные величины, необходимые для определения среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации

№	Х, тыс. чел.-час./га	У, (тыс. руб.)	Расчетные величины
	1,94	111,03	3,7751	12327,8885	215,7293
	3,45	128,90	11,8829	16614,7449	444,3333
	1,83	120,31	3,3334	14473,8934	219,6517
…	…	…	…	…	…
	2,27	105,62	5,1705	11156,0468	240,1704
Итого	41,48	1812,68	121,4840	239812,3499	5240,1270
Среднее знач.	2,77	120,85	8,0989	15987,4900	349,3418

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по получившимся данным для каждого из признаков

Рассчитаем коэффициент вариации для каждого из признаков:

Поскольку коэффициенты вариации по каждому из признаков не превышают значения 0,35, то может сделать вывод об однородности изучаемой совокупности.

1.3. Для применения метода наименьших квадратов при нахождении параметров уравнения регрессии необходимо, чтобы распределение по результативному признаку подчинялось нормальному закону.

Проверить распределение на нормальность можно путем расчета показателей асимметрии первого, второго и третьего порядков и показатель эксцесса.

При нормальном распределении вариационный укладывается в границы ± 3σ; размах вариации R = 6σ. Это означает, что при нормальном распределении вероятность попадания единичного наблюдения в интервал ± 3σ равна 0,997. Величину 3σ считают максимально допустимой ошибкой и отбрасывают результаты экспериментов, для которых величина отклонения от среднего превышает это значение («правило 3 сигм»).

 

Rу =211,15-64,82 = 146,33 ц/га; Rу < 223,14.

M_o=111,03 тыс. руб.;

M_e=111,03 тыс. руб.;

Рассчитаем асимметрию первого порядка:

 

Таблица 3.3. – Расчетные величины

№ хозяйства	У (тыс. руб.)	Расчетные величины
	64,82	-56,0237	3138,6517	-175838,7919	9851134,6449
	88,15	-32,6964	1069,0538	-34954,1956	1142875,9206
	93,13	-27,7167	768,2136	-21292,3203	590152,1421
	103,97	-16,8769	284,8314	-4807,0856	81128,9418
	105,62	-15,2230	231,7388	-3527,7525	53702,8682
	105,81	-15,0382	226,1472	-3400,8438	51142,5346
	107,75	-13,0948	171,4733	-2245,4050	29403,0864
	111,03	-9,8141	96,3172	-945,2700	9277,0058
	112,54	-8,3011	68,9085	-572,0171	4748,3784
	120,31	-0,5377	0,2891	-0,1554	0,0836
	121,25	0,4040	0,1632	0,0660	0,0266
	128,90	8,0530	64,8514	522,2509	4205,7062
	138,95	18,1014	327,6607	5931,1179	107361,5426
	199,31	78,4611	6156,1474	483018,2164	37898150,2459
	211,15	90,3029	8154,6189	736385,9636	66497808,9091
Итого	1812,68	0,0000	20759,0661	978273,7774	116321092,0368
Среднее	120,85	х	х	х	х

 

Асимметрия второго порядка рассчитывается по формулам:

Рассчитаем асимметрию третьего порядка:

Найдем значение эксцесса:

Полученные данные позволяют сделать следующий вывод. Значения асимметрии первого, второго, третьего порядков и эксцесса достаточно малы, мода, медиана и среднее значение результативного признака приближенно равны, следовательно, совокупность подчиняется нормальному закону и для нахождения параметров уравнения регрессии применим Метод наименьших квадратов (МНК).