В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

· В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

· Центр I вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

· Радиус вписанной в треугольник окружности равен

где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.

· Если AB — основание равнобедренного , то окружность, касающаяся сторон в точках A и B, проходит через инцентр треугольника ABC.

· Формула Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.

· Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A₁ и B₁, то .

· Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T₁

· биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁

· Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.

· Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.

· Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.

· Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .

· Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно .

· Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.

· Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам и

· Теорема о трезубце или о трилистнике: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью, а — центр вписанной окружности, то .

· Лемма Веррьера^[1]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой.