Нахождение собственных векторов и собственных значений

Определение. Вектор называется собственным вектором матрицы (оператора) А, если выполняется:

,

где — собственные значения матрицы (оператора) А.

Нахождение собственных векторов и собственных значений сводится к решению уравнения:

,

которое в свою очередь сводится к:

— характеристическое уравнение.

Теорема. Пусть собственные значения оператора А различны. Тогда соответствующие им собственные вектора линейно независимы. (Собственные вектора, независимые между собой, образуют ортогональный базис).

Следствие. Если характеристический многочлен оператора имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Если этот базис составлен из собственных векторов, а — матрица, состоящая из собственных векторов, то эта матрица ортогональная. Таким образом, , матрица оператор А — симметричная, т.е. , тогда — диагональная, причем впоследствии покажем, что по ее диагонали будут расположены собственные значения

Пример 1. Найти собственные вектора и собственные значения матрицы .

.

Заметим, что матрица — не симметричная, поэтому она не сведется к диагональной.

Решение:

Собственные вектора – это такие вектора, при которых , где — собственный вектор, а - собственное число.

Найдем собственные значения :

,

Найдем собственные вектора для каждого собственного значения:

Получаем:

, где — произвольное число.

Пронормируем этот вектор:

.

Получаем собственные вектора для данного собственного значения:

Пронормируем:

.

Ответ: Cобственные значения матрицы:

собственные вектора:

и .

Пример 2. Привести матрицу к диагональному виду:

.

Решение:

.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

.

Подбором найдем корень . Поделим на него многочлен, впоследствии решим квадратное уравнение и получим три искомых корня:

Для каждого собственного значения необходимо найти собственный вектор:

Получим систему уравнений, из которой найдем собственный вектор:

,

где — произвольное число.

Методом подбора можно получить множество различных векторов. По теореме, собственные векторы линейно независимы, если собственные значения оператора различны. В нашем случае, оператору соответствуют два совпадающих собственных значения . Поэтому среди множества векторов, получившихся при , выберем линейно независимые. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Получим:

и

.

Тогда получим два собственных вектора при собственном значении :

.

Таким образом, собственные векторы оператора :

.

Ортонормированная система собственных векторов:

.

Матрица имеет вид:

Для приведения матрицы к диагональному виду по формуле:

,

необходимо найти матрицу, обратную матрице . Поскольку матрица , согласно следствию из теоремы, ортогональная, то для нее будет выполняться: . А так как найти транспонированную матрицу проще, чем обратную, то:

Для матрицы имеем:

Итак, матрица имеет диагональный вид, по диагоналям расположены собственные значения:

.

Упражнение. Найти собственные вектора, собственные значения матрицы . Привести матрицу к диагональному виду:

.

Решение. Матрица симметричная, поэтому она диагонализируема.

Найдем собственные значения :

,

Найдем собственные векторы для данных собственных значений:

Получаем:

,

где — произвольное число.

Пронормируем этот вектор:

.

Получаем собственные вектора для данного собственного значения:

Пронормируем:

.

Таким образом, собственные векторы оператора :

.

Ортонормированная система собственных векторов:

.

Матрица имеет вид:

.

Для приведения матрицы к диагональному виду по формуле:

,

необходимо найти матрицу, обратную матрице . Поскольку матрица , согласно следствию из теоремы, ортогональная, то для нее будет выполняться: . А так как найти транспонированную матрицу проще, чем обратную, то:

Для матрицы имеем:

Итак, матрица имеет диагональный вид, по диагоналям расположены собственные значения:

.

Интерпретация понятия «собственный вектор» (автор — Маресов А.Г., выпускник физфака МГУ, сотрудник аналитического центра «Газпромбанка»).

Любое уравнение физики связано операторами через собственные вектора:

Пример 1.

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.

Простейшим видом деформации является деформация растяжения (Рис. 1 и Рис. 2)

(Рис.1)

 

 

(Рис.2)

Внешняя сила, действующая на пружину и растягивающая ее равна:

При малых деформациях () сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:

По II закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение,

Ускорение — есть вторая производная по времени от расстояния (изменения координаты):

— есть принятое в физике обозначение второй производной по времени. Подставив в исходное уравнение, имеем;

,

.

В физике введено обозначение — Круговая частота свободных колебаний груза на пружине, собственная частота колебательной системы или угловая скорость для математического маятника, равная

.

Тогда формула упрощается:

.

Таким образом оператор второй производной по времени так действует на , что он преобразуется в .

.

Пример 2. Оптика. Отражение и преломление

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а частично пройти через границу и распространяться во второй среде.

Закон отражения света: Угол отражения равен углу падения .

Закон преломления: Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина, постоянная для двух данных сред:

Рассмотрим упрощенный случай:

Луч падает под прямым углом в среду, для которой (относительный показатель преломления второй среды относительно первой) равен 1.

Пусть луч входящий — собственный вектор . После отражения и преломления он превращается в луч отраженный или луч преломленный. Все три вектора — коллинеарные.

· Луч отраженный равен ;

· Луч преломленный равен .

Таким образом, в данном случае оператором, действующим на собственные вектора является сама среда:

Пример 3.

Если матрица — такое преобразование, что между первоначальным и конечным базисом может быть ось симметрии, то эта ось симметрии — есть собственный вектор.

 

Таким образом, определение собственного вектора (1) (словесная формулировка):

Если — собственный вектор преобразования , то при этом преобразовании он переходит сам в себя, только становится кратным .