Решение произвольных треугольников

Для решения произвольных треугольников существует теорема косинусов и теорема синусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Формула a 2= b 2+ c 2−2 b c cos A (или формула b 2= a 2+ c 2−2 a c cos B или формула c 2= b 2+ a 2−2 b a cos C) позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащей против неизвестной стороны.
Теорема косинусов позволяет также по даннм величинам сторон треугольника вычислить величины его углов:
cos A =2 b cb 2+ c 2− a 2; cos B =2 a ca 2+ c 2− b 2; cos C =2 a ba 2+ b 2− c 2.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорционально синусам противоположных углов asin A = bsin B = csin C, где a, b, c - стороны треугольника.

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Прямоугольный треугольник

Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.

 

• По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = h_c из вершины С его прямого угла.

Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.

Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.

Из подобия треугольников определяются соотношения:

• h = ac bc = ca b;
• c = a_c + b_c;
• a = ac c b = bc c;
• (ab)2= acbc.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a ² + b ² = c ²

Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a ² + b ² = c ²,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• по катету и гипотенузе;
• по двум катетам;
• по катету и острому углу;
• по гипотенузе и острому углу.

 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой.

По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное, вообще говоря, неверно.

Свойства Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства). Признаки Два угла треугольника равны. Высота совпадает с медианой. Высота совпадает с биссектрисой. Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Соотношения для сторон:

• a =2 R sin b =2 R sin (теорема синусов);
• a = b 2 cos (следствие теоремы косинусов);
• b = a 2(1− cos ) (следствие теоремы косинусов);
• b =2 a cos (теорема о проекциях).

Соотношения для углов:

• =2 − ;
• = −2 ;
• = arcsina 2 R = arcsinb 2 R.

Соотношения для периметра:

• P = 2a + b (по определению);
• P =2 R (2 sin + sin ).

Соотношения для площади:

• S =21 a 2 sin =21 absin ;
• S =21 b a 2−41 b 2 (формула Герона).

 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Равносторонний треугольник

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами ( ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Правильный треугольник или равносторонний треугольник — правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или 3 ).

Пусть t — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону r =6 3 t. Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону R =3 3 t. Периметр правильного треугольника равен P =3 t =3 3 R =6 3 r. Высота правильного треугольника: h =2 3 t. Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам: S =4 3 t 2=43 3 R 2=3 3 r 2.