Образец выполнения задания

Тема: Выполнение расчетов с использованием пакета символьной математики MathCAD

Цель работы: изучить возможности пакета символьной математики MathCAD в области вычисления математических выражений, использования при расчетах переменных величин различных типов, построения графиков функций, нахождения корней уравнений, решения систем уравнений, решения задач многомерной оптимизации.

Теория к лабораторной работе: http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/UsersGuide/0.asp

Задание: Выполните расчеты в MathCAD.

Образец выполнения задания

1. Вычислите значение выражения:

Решение

Введем выражение, используя панель «Калькулятор» (чтобы открыть панель, выберем Вид – Панели инструментов – Калькулятор). По окончании ввода выражения поставим знак «=».

Представим результат с тремя знаками после десятичного разделителя. Для этого выполним двойной щелчок мышью по результату и выберем в открывшемся окне «Формат результата»: формат – десятичный; число десятичных знаков – 3.

2. Вычислите значение выражения при z=7:

Решение

Опишем переменную z, присвоив ей значение 7:

Введем выражение, используя панель «Калькулятор». По окончании ввода выражения поставим знак «=». Отформатирует результат.

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

Решение

Опишем ранжированную переменную величину i, изменяющуюся от 2 до 20, используя панель «Матрица» и панель «Вычисление» (Вид – Панели инструментов – Матрица; Вид – Панели инструментов – Вычисление).

Введем начальное значение прогрессии и шаг:

Опишем арифметическую прогрессию:

Выведем значения первых 20 членов прогрессии: a=

4. Дайте символическую оценку предела:

Решение

Введем предел, используя панель «Исчисление» (Вид – Панели инструментов – Исчисление).

Выполним символическую оценку, используя панель «Вычисление» (Вид – Панели инструментов – Вычисление).

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x=5, постройте график функции:

Решение

Зададим функцию:

Вычислим значение функции при х=5:

Построим график функции в декартовой системе координат, используя панель «Графики» (Вид – Панели инструментов – Графики). Отформатируем график функции. Для этого выполним двойной щелчок мышью внутри графика и выберем параметры: ось Х – линии сетки; ось Y – линии сетки; стиль осей – пересекающиеся.

 

6. Решите уравнение несколькими возможными способами:

Решение

Опишем уравнение, используя знак «=», который находится на панели «Логический» (Вид – Панели инструментов – Логический).

Найдем решение уравнения.

1 способ: поставим курсор внутри уравнения рядом с переменной, выберем Символика – Переменная – Решить.

2 способ: поставим курсор в конце уравнения (после 1), откроем панель «Символьная» (Вид – Панели инструментов – Символьная), выберем команду solve, введем имя переменной x (относительно которой ищется решение) в появившийся местозаполнитель.

3 способ. Найдем корень уравнения, ближайший к 0. Для этого опишем решение следующим образом:

7. Решите систему уравнений:

Решение

Зададим приближение к решению:

Запишем систему, используя знак «=», который находится на панели «Логический»:

Зададим поиск решений, используя символическую оценку:

Варианты заданий

Вариант 1

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=5:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x=3, постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия 1-го вида расходуется 2 кг, а на изделие второго вида – 4 кг металла. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если отпускная стоимость одного изделия 1-го вида составляет 3 рубля, а изделия 2-го вида – 2 рубля, причем изделий 1-го вида требуется не более 40, а второго вида – не более 20.

 

Вариант 2

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=3:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x=4, постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

На складах А и В находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3, 5 у.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 у.е. В каждый пункт надо доставить одинаковое количество тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

 

Вариант 3

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=3:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Необходимо ежедневно с первого склада перевозить в два магазина 50 телевизоров, а со второго склада — 70. При этом первый магазин продает за день 40 телевизоров, а второй — 80. Известны затраты на перевозку телевизоров со складов в магазины (четыре константы: 1200 у.е. при перевозке одного телевизора с первого склада в первый магазин, 1600 — с первого склада во второй магазин, 800 — со второго склада в первый магазин и 1000 — со второго склада во второй магазин). Спрашивается, как нужно организовать перевозки (найти значения переменных x1, x2, x3 и x4), чтобы затраты были минимальны.

 

Вариант 4

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=3:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Пусть цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 штук. На изделия уходят соответственно 4, 3.4 и 2 кг металла при его общем запасе 340 кг, а также по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы при ее общем запасе 700 кг. Сколько изделий каждого типа x1, x2, и x3 надо выпустить для получения максимального объема выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 4, 3 и 2 у.е.

 

Вариант 5

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=6:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия 1-го вида расходуется 2 кг, а на изделие второго вида – 4 кг металла. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если отпускная стоимость одного изделия 1-го вида составляет 3 рубля, а изделия 2-го вида – 2 рубля, причем изделий 1-го вида требуется не более 40, а второго вида – не более 20.

 

Вариант 6

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=2:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

На складах А и В находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3, 5 у.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 у.е. В каждый пункт надо доставить одинаковое количество тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

 

Вариант 7

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=10:

3. Выведите первые 20 членов арифметической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Необходимо ежедневно с первого склада перевозить в два магазина 50 телевизоров, а со второго склада — 70. При этом первый магазин продает за день 40 телевизоров, а второй — 80. Известны затраты на перевозку телевизоров со складов в магазины (четыре константы: 1200 у.е. при перевозке одного телевизора с первого склада в первый магазин, 1600 — с первого склада во второй магазин, 800 — со второго склада в первый магазин и 1000 — со второго склада во второй магазин). Спрашивается, как нужно организовать перевозки (найти значения переменных x1, x2, x3 и x4), чтобы затраты были минимальны.

Вариант 8

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=3:

3. Выведите первые 20 членов геометрической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Пусть цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 штук. На изделия уходят соответственно 4, 3.4 и 2 кг металла при его общем запасе 340 кг, а также по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы при ее общем запасе 700 кг. Сколько изделий каждого типа x1, x2, и x3 надо выпустить для получения максимального объема выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 4, 3 и 2 у.е.

Вариант 9

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=2:

3. Выведите первые 20 членов геометрической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Необходимо ежедневно с первого склада перевозить в два магазина 50 телевизоров, а со второго склада — 70. При этом первый магазин продает за день 40 телевизоров, а второй — 80. Известны затраты на перевозку телевизоров со складов в магазины (четыре константы: 1200 у.е. при перевозке одного телевизора с первого склада в первый магазин, 1600 — с первого склада во второй магазин, 800 — со второго склада в первый магазин и 1000 — со второго склада во второй магазин). Спрашивается, как нужно организовать перевозки (найти значения переменных x1, x2, x3 и x4), чтобы затраты были минимальны.

 

Вариант 10

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z= :

3. Выведите первые 20 членов геометрической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

На складах А и В находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3, 5 у.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 у.е. В каждый пункт надо доставить одинаковое количество тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

 

Вариант 11

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=4:

3. Выведите первые 20 членов геометрической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия 1-го вида расходуется 2 кг, а на изделие второго вида – 4 кг металла. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если отпускная стоимость одного изделия 1-го вида составляет 3 рубля, а изделия 2-го вида – 2 рубля, причем изделий 1-го вида требуется не более 40, а второго вида – не более 20.

 

Вариант 12

1. Вычислите значение выражения:

2. Вычислите значение выражения при z=3:

3. Выведите первые 20 членов геометрической прогрессии, заданной своим начальным значением и шагом:

4. Дайте символическую оценку предела:

5. Задайте функцию, вычислите ее значение при x= , постройте график функции:

6. Постройте в одной системе координат графики функции: и для xϵ[-5,5] c шагом 0,1. (образец графика см. на рис.1 в конце документа).

7. Решите уравнение несколькими возможными способами:

8. Решите систему уравнений:

9. Найдите точки экстремумов функций и значения экстремумов:
(имеется точка максимума),
(имеется точка минимума).

10. Решите задачу многомерной оптимизации, используя MathCAD:

Пусть цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 штук. На изделия уходят соответственно 4, 3.4 и 2 кг металла при его общем запасе 340 кг, а также по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы при ее общем запасе 700 кг. Сколько изделий каждого типа x1, x2, и x3 надо выпустить для получения максимального объема выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 4, 3 и 2 у.е.

Контрольные вопросы

1. Перечислите названия известных вам пакетов символьной математики.

2. Каковы основные принципы работы пакетов символьной математики?

3. Каким образом описываются переменные величины в пакете MathCAD?

4. Каким образом записываются ранжированные величины в пакете MathCAD?

5. Как построить график функции в MathCAD?

6. Как найти корни уравнения в MathCAD?

7. Как решить в MathCAD систему уравнений?