Теорема: пусть функция u(x), v(x) и их производные u,(x), v,(x), непрерывны на [a,b], тогда справедлива формула .

12. Несобственные интегралы второго рода:

Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a,b) и неограниченна при x→b (f(x)→∞ при x→b) в этом случае несобственный интеграл 2-го рода принимают следующим образом: .

Если предел существует, говорят, что интеграл сходится, не существует или бесконечен – расходится.

Теорема (сравнения):пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) тогда из сходимости интеграла: следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Теорема (предельный признак сравнения): пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) если существует предел: , то интегралы либо оба сходятся либо оба расходятся.

9. Вычисление объема тела вращения:

Пусть вокруг оси Ох вращения криволинейная тра­пеция, ограниченная кривой у=f(x), прямыми х=0, х=в и Ох и пусть f(x) непрерывная на [a,b] функции (f˃0), получим тело вращения V которого вычисля­ется по формуле: (Vox=π; )*

Разобьем отрезок [a,b] на n частей в каждой части произвольно выберем точку Ci ϵ [Xi-1,X1], прове­дем, через точки Xi плоскости ˔ Ох получим слоев тела вращения, каждый слой замещением цилин­дра высотой ΔXi=Xi-Xi-1 и основанием является круг радиуса f(Ci). Сумарный объем ступенчатого тела равен , переходя к пределу прі n получім формулу (*).

10. Работа переменной силы:

Пусть материальная точка переменной под дейст­вием силы F направленной вдоль оси Ох и имею­щей переменную величину зависящей от х F=F(x), покажем, что работа совершаемая силой F по пе­ремещению точки вдоль оси Ох из х=а в х=в вычис­ляется по формуле: A=

(F, непрерывна на [a,b])

11. Несобственные интеграла с бесконечными пределами интегрирования:

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,+∞], тогда по определению пола­гают: несоб­ственный интеграл первого рода.

Если существует конечные предел в * то говорят, что Н.И. сходится, если предел не существует или бесконечен – интеграл называется расходящимся.

Для исследования сходимости:

если на промежутке [a,+∞) не­прерывные функции f(x), ϕ(x) удовлетворяющие ус­ловию 0≤f(x)≤ϕ(x),то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость .

Предельный признак сходимости:если существует предел , то несобственные интегралы , либо оба сходятся либо оба расходятся.

Теорема 3: из сходимости интеграла , следует сходимость интеграла .

13. Уравнение связывающее независимую пере­менную, искомую функцию и ее производные на­зывается дифференциальным уравнением (ДУ).

Решением ДУ называется функция которая при подстановке в уравнение обращают его в тожде­ство.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у=ϕ(х,с), содержащее одну произвольную постоянную и удовлетворяющая следующим усло­виям: 1). Она является решением ДУ при каждом фиксируемом значении С. 2). Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0 найдется такое значе­ние произвольной постоянной с=С0, что функция у=ϕ(х,с0) будет удовлетворять заданному началь­ному условию.

Частным решение ДУ первого порядка называют любую функцию у=ϕ(х,с0) полученную из ОР при конкретных значениях постоянной.

Теорема:Если функция f(x,y) м ее частная произ­водная f’(x,y) непрерывны в некоторой области Д содержащей точку(х0,у0), то существует единствен­ное решение у=у(х) ДУ y’=f(x,y) удовлетворяющее начальному условию.

17. 1-ый тип: уравнения не содержащие явно искомую функцию у: F(x,y’,y’’)=0. Уравнение допускает понижение порядка(т.е. сводится к уравнению более низкого порядка – к первому) с помощью замены y’=z(x), где z(x)-новая неизвестная функция, тогда y’’=z’ и уравнение примет вид F(x,z,z’),решая его находим функцию z(x)=ϕ(x,C1), в итоге искомая функция у находится интегрированием:

2-ой тип: уравнение не содержащее явно независимую переменную х: F(y,y’,y’’)=0. Примени метод понижения порядка, сделаем замену: y’=p(y) y’’=(p(y))’_x=dp/dy*y’_x=pdp/dy,уравнение примет вид F(y,p,pdp/dy)=0 - ДУ 1-го порядка, откуда находим функцию p=ϕ(y,C1) или dy/dx=ϕ(y,C1)–с разделяющими переменными (РАЗДЕЛИТЬ ПЕРЕМЕННЫЕ). Du/ϕ(y,C1)=dx. Далее интегрируем.

18. ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p(x)y’+q(x)y=0 *

Функции y1(х),y2(х) называются линейно-зависи­мыми на (а,в), если существуют такие числа α1,α2, из которых хотя бы одно отлично от 0, что выпол­няется равенство α1y1(х)+α2y2(х)=0 для любых х из интервала (а,в). Если же из выполнения указанного равенства следует, что α1=α2=0, то функции y1(х),y2(х) называются линейно-независимыми на (а,в).

О линейно-зависимых или независимых y1(х),y2(х) можно судить по определителю: - вронскиан (определитель Вронского).

ни в одной точке (а,в), тогда и только тогда, когда функции y1(х),y2(х) линейно-независимы.

Теорема: (о структуре ОР ЛОДУ 2-го порядка) если y1(х) и y2(х) линейно-независимые решения урав­нения (*), то функция y=C1*y1(x)+C2*y2(x)-где С1,С2 – произвольные постоянные являющиеся общим решением уравнения (*).

19. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициен­тами: y’’+py’+qy=0

1. Д˃0 к1≠к2 к1,к2=(-p+(-) /2a () ОР (y=C1e^k1x+C2e^k2x)

2. Д=0 к1=к2=к к=-p/2 (y1=e^kx y2=e^kxx) OP (y=C1e^kx+C2e^kxx)

3. Д˂0 Д=-р-4q˂0 k1,k2=(-p+(-)i /2=α+(-)βi

OP (y=C1e^αxcos(βx)+C2e^αxsin(βx)=e^αx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

20. ЛНДУ 2-го порядка: y’’+py’+qy=f(x)

Теорема(о структуре ОР ЛНДУ 2-го порядка) об­щим решением ЛНДУ является сумма общего ре­шения однородного уравнения соответствующее y’’+py’+qy=f(x) и некоторого частичного решения уравнения y’’+py’+qy=f(x): y_он=у_оо+у_чн

21. Метод вариации произвольных постоянных:

Пусть y=C1(x)y1+C2(x)y2-где С1(х),С2(х) некоторые функции подлежащие определению

Для нахождения С1(х),С2(х) потребуем чтобы у_чн было решением уравнения y’’+py’+qy=f(x) (*)

Найдем у_чн’ = C1(х)’y1++C1(x)y1’+C2(x)’y2+C2(x)y2’, пусть для упрощения C1’(x)y1+C2’(x)y2=0, тогда y’_чн=C1(x)y1’+C2(x)y2’, далее y’’_чн=C1’(x)y1’+C1(x)y1’’+C2’(x)y2’+C2(x)y2’’ подстав­ляем в уравнение (*).

Требуем (…………..)=f(x), и так, чтобы y=C1(x)y1+C2(x)y2 было решением уравнения, должны выполнятся следующие требования:

Из полученной системы определяем С1’(х), С2’(х), находим С1(х), С2(х): интегрированием

Записываем учн=С1(х)у1+С2(х)у2, после чего у_он=у_оо+у_чн

22. Метод неопределенных коэффициентов(метод подбора)

23. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ→0) который не зави­сит ни от способа разбиения области Д на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д и обо­значается .

Свойства двойного интеграла:

1.Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: а). если f(x,y)≥0 в Д, то б). если f(x,y)≤g(x,y), то

4. Оценка двойного интеграла: пусть м- наи­меньшее, М- наибольшее значения функции z=f(x,y) в области Д, тогда m(Sd)≤ ≤M(Sd)

5. Аналог теоремы о среднем: пусть f(x,y) не­прерывна в Д, тогда существует М₀(х0,у0) ϵ Д что

S(x)= - площадь поперечного сече­ния цилиндрического тела.

V= - объем ци­линдрического тела

24. Если существует предел интегральной суммы , при →∞(λ→0) независящей ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них, то он называется тройным ин­тегралом от функции f по области V и обозначается

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если f(x,y,z)≤g(x,y,z)

4. _тела

5. ценка тройного интеграла: m*V≤

6.

7. p=p(x,y,z) _тела

25. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ=max →0), кото­рый не зависит ни от способа разделения кривой на части, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом от функции f(x,y) по длине дуги и обозначается:

Свойства КРИ-1: 1.

2.

3.

4. f(x,y)≤g(x,y),

5. - длина дуги

6. p(x,y), m=

7. , где (хс,ус) АВ

27. пусть функция Р(х,у), Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области Д, тогда имеет место формула:

-где - граница области Д и интегрирование производится в положительном направлении, ко­гда при движении по область Д остается слева. На­зывается формулой ГРИНА, она связывает КРИ-2 по границе области с двойным интегралом, по са­мой области.

Условия независимости КРИ-2:

1. Для любой замкнутой кривой расположен­ной в Д:

2. Для любых 2-х точек А и В лежащих в Д значе­ний интеграла , не зави­сит от выбора пути интегрирования целиком лежащего в Д.

3. P(x,y)dx+Q(x,y)dy – представляет собой пол­ный дифференциал некоторой функции u(x,y) определенного в области Д т.е. такой, что du=Pdx+Qdy

4. В области Д всюду:

28. Пусть задана поверхность S и функция f(x,y,z), разбивающая поверхность на части площадями . В каждой части произвольно выбирают точку Мi(xi,yi,zi), составляют интегральную сумму и нахо­дят ее предел называемый поверхностным инте­гралом(ПОВИ-1):

Свойства: 1. f=1 _{поверхности}

2. Если задана плотность поверхности то, _{поверхности}

29. Рассмотрим 3 непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и выберем определенную сторону поверхности S (ориентированную поверхность). Выбранную сторону S разбиваем на части, затем проектируем эти части на координатные плоскости и строим интегральные суммы например: , где это площадь проекции соответствующей части на плоскость Оху (+)-если нормаль составляет с Оz острый угол и (-) – если ту­пой. В пределе при n→∞ такая сумма дает ПОВИ-2

Общий вид ПОВИ-2:

30. Если в каждой точке М некоторой области задан вектор (M), то говорят, что в области задано векторное поле (если рассматриваемая область на плоскости, поле называется плоским).

Характеристики векторного поля: 1. Поток П_S( векторного поля , через ориентированную поверх­ность S называется ПОВИ-1 скалярного произведе­ния вектора на единичный вектор нормали к поверхности S: П_S(

2. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой L, называется следующее КРИ-2: Ц_L( =

31. Дивергенцией векторного поля называется ве­личина: = он характеризует мощ­ность источника, если ˃0 в точке М и мощ­ность стока, если ˂0 в точке М.

Ротором (вихрем) векторного поля называется (m)= = ( + +

Если (m) поле называется без вихревым или по­тенциальным, при этом существует такая скалярная функция u(m) что grad u= , u- называется потен­циалом поля.

Векторное поле в каждой точке которого дивергенция равна 0, называется соленоидальным.

33. Достаточные признаки сравнения:

1. Признак сравнения: пусть даны 2 знака положи­тельных ряда , причем начиная с некоторого n Un≤Vn, тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

2. Предельный признак сравнения:пусть даны 2 знака положительных ряда , и пусть , тогда ряды , либо оба расходятся, либо оба сходятся.

3. Признак Даламбера: пусть дан знака положи­тельный ряд и пусть существует конечный или бесконечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: =l

При l˂1 ряд сходится

При l˃1 ряд расходится

При l=1 признак ответа не дает

34. Интегральный признак Коши: если члены знака положительного ряда могут быть представлены, как числовые значения некоторой непрерывной, монотонно убывающей на промежутке [1,∞) функ­ции f(x), так что U1=f(1), U2=f(2) и т.д., а Un=f(n).

1. если сходится, то сходится ряд

2. Если расходится, то расходится и ряд

38. Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида:

Если модули всех производных функции f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М˃0, то для любых х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к самой функции f(x), т.е. имеет место разложение: ,причем это разложение единственно.

При х0=0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена и имеет вид:

39. Ряды Маклорена для некоторых функций:

1). y=sinx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

2). y=cosx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

3). y=

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

4). y=ln(1+x)

(сходится, если х ϵ (-1,1])

5). y=(1+x)^m

Если m целое, положительное число, то вместо ряда получается конечная сумма.

Если m≥0 ряд сходится при хϵ [-1,1]

-1˂m˂0, то xϵ(-1,1], m≤1, то xϵ(-1,1)

40. Приложения степенных рядов:

· Приближенное вычисление

Пусть требуется вычислить значение функции при х=х1 с заданной точностью ε функция раскладываем в степенной ряд подставляя вместо х, значения х1 и оставляем для вычисления столько членов ряда, сколько необходимо для соблюдения заданной точности ε.

Для знака чередующихся рядов первый из отбрасываемых членов ряда должен быть по модулю меньше заданной точности.

· Вычисление интегралов

Отметим, что абсолютно сходящиеся ряды можно дифференцировать и интегрировать почленно, при этом также получаются сходящиеся ряды.

Сперва разлаживаем под интегральную функцию в степенной ряд, затем интегрируем почленно.

· Приближенное вычисление ДУ

Запишем разложение в ряд Тейлора решение задачи Коши

43.Теорема(сложение вероятностей для несовместных событий):вероятность суммы 2-ч несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема(сложения вероятностей для произвольных событий): вероятность суммы для произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

44. Вероятность события В, при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается: P(B/A)

Теорема: вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них, на условную вероятность другого в предположении, что первое имеет место: P (AB)=P(A)*P(B/A)

Замечание: вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB)=P(A)*P(B)

45. Теорема: вероятность события А равна сумме произведений вероятностей всех гипотез на услов­ную вероятность события А: Р(А)=P(H1)*P(A/H1)+..+P(Hn)P(A/Hn)=

Пусть имеется полная группа событий H1,H2,…,Hn вероятности которых P(H1),P(H2),…,P(Hn) известны до опыта(вероятности априори). Производится опыт (испытание) в результате которого зарегист­рировано появление события А. Требуется найти вероятности гипотез после опыта (апостериори). т.е. фактически переоценить вероятности гипотез, т.к. P(AІHi)=P(A)*P(HiІA)=P(Hi)*P(AІHi) – откуда P(HiІA)=(P(Hi)*P(AІHi))/P(A)=(P(Hi)*P(AІHi))/∑P(Hi)*P(AІHi) – формула Байеса.

46. Серия повторений независимых испытаний в каждом из которых некоторое событие А происходило с одной и той же вероятностью р - называется схемой Бернулли. Т.о. в схеме Бернулли для каждого испытания возможны только 2 исхода: 1). Событие А происходит с вероятностью р. 2). Событие А не происходит с вероятностью 1-р=q.

- Формула Бернулли.

Теорема(Пуассона):пусть вероятность появления события А в каждом из n–испытаний мала (близка к 0), а число испытаний достаточно велико, тогда вероятность того, что в испытаний событие Р наступит к- раз выражает формула Пуассона: где λ= (λ≤10).

Теоремы Лапласа: 1. пусть вероятность наступления события А в каждом n–независимых испытаний постоянно и равна p(0˂p˂1). Тогда вероятность того, что в –испытаний событие появится к- раз можно найти по приближенной формуле:

*ϕ(x), где x=k-np/ , а функция имеет вид ϕ(x)=1/2π* .

2. Интегральная: пусть вероятность того, что в –испытаний событие А произойдет не менее к₁ и не более к₂ раз определяется по формуле: , где x2 Ф(х)= - Функция Лапласа.

Ф(-х)=-Ф(х)-нечетная, Ф(х)=1/2 для х˃5

49. ДСВ Х называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает свои значения к с вероятностями вычисленными по формуле Бернулли:

Характеристики:M(x)=np; D(x)=npq; σ=

СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, если вероятности с которыми она принимает свои значения вычисляется по формуле Пуассона:

Характеристики:M(x)=np=λ; D(x)=np=λ; σ(x)=

50. Пусть функция распределения непрерывной СВ имеет производную F’(x)=p(x), тогда функция p(x) называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины.

Свойства плотности вероятности:

1. P(x)≥0 (P(x))

2.

3. P(a˂x˂b)=

4. a=-∞ b=x p(-∞˂X˂x)=p(X˂x)=F(x) F(x)=

Числовые характеристики непрерывной СВ:

1. под математическим ожиданием непрерывной СВ Х понимается величина несобственного интеграла:

, если он сходится.

2. D(X)=

3. σ(X)=

51. Непрерывной СВ Х называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности постоянна на отрезке [a,b], а вне этого отрезка =0, т.е. p(x)=

Плотность вероятности распределения: =

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=(a+b)/2

2. D(X)=(b-a)²/12

3. Σ(X)=Іb-aІ/2

52. Распределение непрерывной СВ называется показательным, если плотность вероятности имеет вид: λ≥0

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=1/λ;

2. D(X)=1/λ^2

3. σ(X)=1/λ;

14. ДУ первого порядка с разделяющими переменными: P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0

При делении на Q1(y)P2(x) могут быть потеряны решения, если отдельно решить уравнение Q1(y)P2(x)=0 можно установить так называемые особые решения, которые могут быть получены из общего решения.

Уравнение вида y’=f1(x)f2(y) также называется ДУ с разделяющими переменными.

15. Функция f(x,y) называется однородной функцией н-ной степени, если при умножении каждого ее фрагмента на t вся функция умножается на tⁿ: f(t_x,t_y)=tⁿ*f(x,y). Функция называется однородной в нулевой степени, если f(t_x,t_y)=f(x,y).

ДУ 1-го порядка y’=f(x,y) называется однородным, если функция f(x,y) стоящая справа является однородной функцией нулевой степени.

Можно показать, что любое однородное уравнение сводится к уравнению вида: y’=ϕ(y/x) (*).

Полагая (y/x=u) где u, новая независимая функция сводят однородное уравнение (*) к уравнению с разделяющими переменными.

16. Уравнения вида y’+p(x)y=q(x) заданные непрерывной функцией называются линейными ДУ 1-го порядка.

Метод решения: искомая функция у представляется в виде произведения 2-х новых функций u и v: y=uv, тогда y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x) потребуем, чтобы выражение в скобке обращалось в ноль, приходим к системе:

Сначала из 1-го уравнения системы находят функцию v=v(x) это уравнение с разделяющими переменными: v’+p(x)*v=0

v’=-p(x)*v

dv/dx=-p(x)*v

dv/v=-p(x)dx

Ln|v|=-

V=

Во второе уравнение системы подставляют v находим функцию u=u(x,C), обычно эта функция находится непосредственным интегрированием. В итоге y=u(x,C)*v(x)- ОР исходного уравнения.

Уравнение Бернулли: y’+p(x)y=q(x)y^α

17. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка: 1-ый тип: F(x,y’,y’’)=0 (т.е. сводится к уравнению более низкого порядка) с помощью замены y’=z(x) где z-новая независимая функция, тогда: y’’=z’ и уравнение

32. Рядом называется выражение вида:
Un – общий член ряда.
Определение: если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда при n→∞, то ряд – называется сходящимся, при этом её сумма равна пределу частичных сумм. - сумма ряда.
Если же предел последовательных частичных сумм не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся.
Свойства:
1. Если ряд сходится и С ≠ 0 – некоторая постоянная, то сходится и ряд , причем его сумма = СS, где S = .

2. Если ряды сходятся, причем сумма

Un = S1, , то сходится и ряды , причем , = S1-S2.
Теорема: если ряд сходится, то предел общего члена ряда равен 0:

35. Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)
Если для знакочередующегося ряда выполнены 2 условия:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает: U1>U2>U3>…
2) предел Un при n→∞ = 0
, то знакочередующийся ряд сходится, при этом сумма ряда не превосходит первого члена ряда:
0 < S < U₁