Тема: принятие решений в конфликтных ситуациях

1) Задачи на игры с природой

Задача 1. Предприятие «Весна» выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может направить на продажу сразу (решение А ₁), отправить на склад для хранения (решение А ₂) или подвергнуть дополнительной обработке (решение А ₃) для длительного хранения. Характер спроса на продукцию "Весны" определяется состоянием рынка; при этом предполагается, что возможны три состояния: продукция "Весны" приобретается немедленно (состояние В ₁), в течение небольшого периода времени (состояние В₂), после длительного периода времени (состояние В ₃).

В случае решений А₂ и А ₃ предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются при А ₁, однако при А ₁ следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если состояние рынка будет В ₂ или В ₃. Матрица прибылей предприятия «Весна» задана:

 

Определить:

1) оптимальное решение предприятия «Весна» по критериям Лапласа и Байеса;

2) оптимальное рандомизированное решение по критерию максимина (т.е., оптимальные пропорции применения решений А ₁, А ₂, А ₃, дающие гарантированный средний уровень прибылей).

Решение: 1) по критерию Лапласа необходимо найти действие, дающее .

По критерию Байеса необходимо найти действие, дающее ; вероятность состояния .

2) Найдем оптимальные пропорции применения решений А ₁, А ₂, А ₃, дающие гарантированный средний уровень прибыли по критерию максимина. Нам необходимо найти оптимальное рандомизированное решение ,максимизирующее гарантированный средний уровень прибыли. Средний уровень прибыли предприятия при условии состояния рынка В_j составит

Где.

Обозначив через V гарантированный средний уровень прибыли предприятия, получаем задачу линейного программирования:

(*)

Переобозначая иподставляя значения элементов матрицы затрат, имеем (из (*)):

 

Решая задачу, получаем ответ: . Фрагмент рабочего листа Excel с решением задачи:

 

Задача 2. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов ; их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния и не прогнозируется. Определить оптимальные пропорции в завозе товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:

 

Тип товара	Спрос
В 1	В 2	В 3
А 1
А 2
А 3

Ответ: .

 

Задача 3. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей ( кол-во булочек, вероятность):

D
p(D)	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10

Если булочка не продана в тот же день, она может быть реализована за 15 центов к концу дня. С другой стороны, свежие булочки продаются по цене 49 центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку составляют 25 центов. Используя критерий Байеса, определите, какое оптимальное число булочек нужно заказывать магазину ежедневно, если предположить, что величина заказа может принимать одно из возможных значений спроса.

Решение. Для решения задачи необходимо вычислить значения элементов матрицы прибылей магазина. При этом следует учесть, что если спрос превышает предложение , то прибыль будет равна (все булочки продаются по цене 49 центов), а если предложение превышает спрос , то прибыль будет равна .

Ответ: оптимальный размер заказа 200 булочек, а оптимальная ожидаемая прибыль 36,95 долл. Фрагмент рабочего листа Excel с решением задачи: