Задача №3. Напряжения в грунтах от действия внешних сил

Исходные данные:

Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане 260×210 и 500×240 (размеры в сантиметрах) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью 0,34 МПа и 0,38 МПа соответственно. Определить величины вертикальных составляющих напряжений σ;_Z от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек М₁, М₂, М₃ на плите №1. Расстояние между осями плит нагружения – 300 см. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 100, 200, 400, 600 см. По вычисленным напряжениям построить эпюры распределения σ;_Z (от каждой нагрузки отдельно и суммарную).

 

Рис. 3-1. Расчетная схема

Решение:

Используя метод угловых точек определение вертикальных составляющих напряжений в точке проводится по формуле:

Для площадок под центром загружения прямоугольника: , где α; – коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения (а – длинная ее сторона, b ­– ее ширина) и отношения (z – глубина, на которой определяется напряжение ), P – интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Для площадок под углом загруженного прямоугольника: , где α; – коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения (а – длинная ее сторона, b ­– ее ширина) и отношения (z – глубина, на которой определяется напряжение ), P – интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

1. Рассмотрим плиту №1.

а) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₁.

Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М₁ являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: см, см.

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

б) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₂.

Поскольку М₂ находится под центром плиты, применяем формулы для центра загружения:

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

в) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₃.

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

2. Рассмотрим плиту №2

Поскольку точки М находятся вне прямоугольника давлений, величина складывается из суммы напряжений от действия нагрузки по прямоугольникам под площадью давления, взятых со знаком «плюс», и напряжений от действия нагрузок по прямоугольникам вне площади давления, взятых со знаком «минус», т.е.

.

а) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₁.

Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М₁ являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: см, см.

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

б) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₂.

Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М₂ являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: см, см.

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

в) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М₃.

Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М₃ являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два прямоугольника, причем верхний со сторонами: см, см; нижний – см, см.

Для глубины 100 см: МПа

Для глубины 200 см: МПа

Для глубины 400 см: МПа

Для глубины 600 см: МПа

3. Пользуясь принципом независимости действия сил, находим алгебраическим суммированием напряжения в заданных точках массива грунта.

Для действия распределенной нагрузки Р ₁:

МПа

МПа

МПа

МПа

Для действия распределенной нагрузки Р ₂:

МПа

МПа

МПа

МПа

Для действия суммарной нагрузки:

МПа

МПа

МПа

МПа

4. На основании проведенных расчетов строим эпюры распределения σ;_Z.

Рис. 3-2. Эпюры распределения вертикальных напряжений σ;_Z