Напряжения в массиве от сосредоточенной силы.

Для упр полупространства (модель 2) есть строгое решение теор упр. Пусть положение т.М₁ определяется полярными координатами R и β системы координат с началом в тчк приложения силы Р. Под действием Р т.М₁ переместится в напр-ии радиуса R на величину s1. Чем дальше от т.О будет расположена т.М₁, тем < будет ее перемещение; при R=∞ перемещение т.М₁=0. След-но s₁ обратно пропорционально R. При одинак R для различных величин угла β перемещения точек будут неодинаковы. Наибольшее перемещение получит точка, располож на оси z, т.е. при β=0. Чем > угол β, тем < перемещения по направлению радиуса R; в случае β=90 (на поверхности грунта) при малых деформациях они =0. Тогда перемещение т.М₁ по направлению радиуса, кроме зоны около точки приложения силы Р: s₁=(α₁/R)cosβ, где α₁ –коэф. пропорциональности. Рассмотрим т.М₂ на продолжении радиуса R. Пусть т.М₂ находится на расстоянии dR от т.М₁, тогда s₂=(α1/(R+dR)cosβ. Относительная деформация грунта на отрезке dR: ε_R=(s₁-s₂)/dR=(α₁cosβ)/(R²+RdR) Пренебрегая величиной RdR малой по сравнению с R², и учитывая линейную зависимость м\у напряжениями и деформациями, выражение для напряжений сжатия, действующих на площадки, перпендикулярные направлению радиуса R, без учета силы тяжести грунта: σ_R=(α₁α₂ /R²)cosβ, где α₂ - коэф. Пропорц-ти м\у напряжениями и деф-ми. Для нахождения коэф. α₁α₂ отсечем мысленно часть полупространства полушаровой поверхностью, с центром в т.О и радиусом R, и составим уравнение равновесия на ось z:

N-(интеграл от 0 до π/2)σ_Rcosβ*dA=0, где dA- площадь кольца полушаровой поверхности при изменении угла β на величину dβ. Подставив последнее уравнение значение σ_R найдем α₁α₂. Тогда σ_R=3/2π*P/R²cosβ. Т.к. напряжение σ_R действует на наклонную площадку dA рассматривая равновесие элементарной треугольной призмы, составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось: σ_RdA/cosβ- σ_RcosβdA=0. Подставив выражение σ_R=3/2π*P/R²cosβ найдем вертикальное напряжение, которое принимается с положит знаком при сжатии σ_R=3/2π*P/R²cos³β. Т.к. cosβ=z/R, то конечная формула Буссинеска: σ_R=(3*P*z³)/(2π*R⁵).

В формуле нет параметра характеризующего материал (грунт). Анализируя формулу можно сказать: 1. В точке приложения силы напряжения будут ∞ большими; 2. Полностью напряжения затухают на глубине равной ∞.

На практике сосредоточить большой груз в одной точке. При малой же площадке передачи нагрузки напряжение в месте приложения нагрузки превзойдут предел прочности грунта. Поэтому некоторую область (заштрихованная на рисунке) у точки приложения сосредоточенной силы необходимо исключить из рассмотрения.