Корреляция. При одновременном изучении совокупности по нескольким признакам нередко обнаруживается, что между признаками существует связь

При одновременном изучении совокупности по нескольким признакам нередко обнаруживается, что между признаками существует связь. Взаимная связь признаков, при которой значение одного признака соответствует значению другого признака или при изменении одного признака второй тоже изменяется, называется корреляцией.

По форме корреляция бывает прямолинейной (между суточным удоем и удоем за лактацию) и криволинейной (между живой массой и удоем за лактацию).

По направлению корреляция может быть положительной и отрицательной. При положительной корреляции с увеличением одного признака второй тоже увеличивается (суточный удой и удой за лактацию, живая масса и удой, складчатость кожи у овец и настриг шерсти). При отрицательной корреляции увеличение одного признака ведет к снижению другого (удой и жирность молока, плодовитость у свиней и масса поросят при рождении, яйценоскость и масса яйца, длина туловища и толщина шпика).

По сочетанию удоя и содержания жира в молоке профессор Соловьев выделил 4 типа животных:

1. Животные, у которых с повышением удоя содержание жира увеличивается. Это самый желательный тип.

2. Животные, у которых с повышением удоя содержание жира остается на одном уровне.

3. Животные, у которых с повышением удоя содержание жира снижается.

4. Животные, у которых с понижением удоя содержание жира увеличивается.

Для оценки силы и направления взаимосвязи между признаками вычисляют коэффициент корреляции (r). Значение коэффициента корреляции находятся в пределах от -1 до +1.

Если r=0, то корреляция отсутствует;

r=-1 – полная отрицательная корреляция;

r=+1 – полная положительная корреляция.

Если r<0,3 – корреляция слабая, низкая;

r=0,3-0,7 – корреляция средняя;

r>0,7 – корреляция высокая, сильная.

Коэффициент корреляции для большой выборки вычисляется путем построения корреляционной решетки.

Рассмотрим вычисление коэффициента корреляции на примере.

Вычисление коэффициента корреляции между живой массой и обхватом груди у свиноматок

1. Исходя из лимитов, определяем классовый промежуток, начало и конец каждого класса по вариационному ряду Х (обхват груди) и ряду У (живая масса).

2. Распределяем свиноматок по класса корреляционной решетки с учетом живой массы (У) и обхвата груди (Х), т.е. точкуем.

3. По каждому вариационному ряду проставляем количество вариант в каждом классе (Р_х и Р_у).

4. По каждому вариационному ряду выделяем модальные классы и находим отклонения а_х и а_у.

5. Вычисляем Р_х×а_х; Р_х×а_х²; Р_у×а_у; Р_у×а_у² и их суммы.

Таблица 2 – Корреляционная решетка

у х	152-171	172-191	192-211	212-231	232-251	252-271	272-291	292-311	312-331	332-351	Рх	ах	Рхах	Рхах2
120-125	-3	-3	-2	-1									-3	-18
218	318	13
126-131	-2	16	1456	36		1-2							-2	-44
132-137	-1		48	2929		1-1							-1	-68
138-143
144-149				7-7		1616	816	13
150-155						4590	1040
156-161						721	1590	981
162-167						28	324	448	464
168-173								230	240	375
174-179									124	130	272
Ру
ау	-3	-2	-1
Руау	-12	-52	-67											-3
Руау2													-7

6. Вычисляем коэффициент корреляции по формуле

(21)

где b_x и b_y – поправки к модальным классам;

n – количество животных (в нашем примере n=400);

σ_х и σ_у – среднее квадратическое отклонение по ряду Х и ряду У, вычисленное без умножения на шаг;

∑Ра_ха_у – сумма произведений количества вариант в каждой клетке на отклонение а_х и а_у.

n=400 голов

Чтобы найти сумму Ра_ха_у, нужно для каждой клетки найти произведение количества вариант на а_х и а_у. Для первой клетки это будет выглядеть так: 2×(-3)×(-3)=18, запишем в виде степени. И так далее для каждой клетки корреляционной решетки, где есть варианты.

Затем найдем сумму Ра_ха_у по четырем квадратам и запишем в правом нижнем углу корреляционной решетки.

∑Ра_ха_у=144-7-3+772=906

Таким образом, между живой массой и обхватом груди у свиноматок нами выявлена сильная положительная корреляция.

Ошибку и критерий достоверности для коэффициента корреляции находим по следующим формулам:

(22)

(23)

m_r=0,016 t_r=51

Вычисление коэффициента корреляции для малой выборки

Пример: Вычислить коэффициент корреляции между концентрацией спермиев (Х) и содержанием липоидного фосфора (У) в эякуляте у 10 быков.

Для этого построим таблицу и занесем в нее по каждому из быков значение Х и У:

№	Концентрация спермиев (млрд в мл) Х	Содержание липоидного фосфора (мг%) У	ах	ау	ах× ау	ах2	ау2
	1,20	21,0	-0,13	-4,1	0,534	0,0169	16,81
	1,29	25,3	-0,04	0,2	-0,008	0,0016	0,04
	1,19	19,0	-0,14	-6,1	0,854	0,0196	37,21
	1,02	24,3	-0,31	-0,8	0,248	0,0961	0,64
	1,35	31,7	0,02	6,6	0,132	0,0004	43,56
	2,06	35,3	0,73	10,2	7,440	0,5329	104,04
	1,76	28,8	0,43	3,7	1,591	0,1849	13,69
	1,34	25,3	0,01	0,2	0,002	0,0001	0,04
	1,18	22,3	-0,15	-2,8	0,420	0,0225	7,84
	0,92	18,2	-0,41	-6,9	2,822	0,1681	47,61
∑	13,31	251,2	-	-	14,035	1,0431	271,48
Сред.	1,33	25,1	-	-	-	-	-

 

а_х, а_у – отклонение каждой варианты по ряду Х и ряду У от средней арифметической (а_х= Х _i- ; а_у= У _i- ).

σ_х, σ_у – среднее квадратическое отклонение по признаку Х и У, вычисленное по формуле для малой выборки, т.к. n=10.

Коэффициент корреляции находим по формуле:

(24)

Между концентрацией спермиев и содержанием липоидного фосфора нами выявлена высокая положительная корреляция.