Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів

 

Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:

за умови, що хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Дійсно, якщо, наприклад, , то з (1) випливає:

;

Навпаки, якщо лінійна комбінація векторів , тобто

,

то вся система - лінійно залежна, бо

де .

Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:

тільки за умови рівності нулю всіх коефіцієнтів .

Поняття лінійної залежності векторів дозволяє характеризувати їх взаємне положення в просторі.

Теорема 1. Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Теорема 2. Довільні три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Теорема 3. Чотири вектори завжди лінійно залежні, тобто існують числа такі, що для векторів має місце співвідношення:

Зауваження. Розклад (2) за системою трьох некомпланарних векторів - єдиний.

Дійсно, якщо припустити, що існує ще один розклад:

то віднімаючи із (2) останню рівність, отримаємо:

Оскільки - лінійно незалежні (вони не компланарні), то це можливо за умови

Приклад. Накресліть довільний базис Побудуйте вектори , , і