Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм.

2. Показати, що точки А(3,4,1), В(1,0,-1) і С(-2,-6,-4) лежать на одній прямій.

3. Дані точки А(-3,6,1) і В(7,-9,-4). Знайти координати точок С, D, Е, i F, які ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин.

4. Знайти координати кінців P і Q відрізка, який точками М(3,1,3) і N(6,-1,1) розділений на три рівні частини.

Відповіді: 3. С(-1,3,0), D(1,0,-1), E(3,-3,-2), F(5,-6,-3)

P(0,3,5), Q(9,-3,-1).

2.7. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій

 

1. Кут між векторами. Нехай задані ненульові вектори . Зведемо ці вектори до спільної точки О і в напрямках векторів проведемо з точки О промені (див. рис. 15).

Менший з кутів, які утворені цими променями називається кутом між векторами і позначається .

Кут між вектором і нульовим вектором не означається.

Очевидно, що якщо , то ; Якщо ж то .

Вправи. 1). Знайти , , .

2). Нехай . Знайти .

 

Рис. 15

 

3). Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник АВС, де . Знайти

Відповіді:

2. Проєкцію вектора на вісь (позначається ) називається довжина відрізка, який сполучає проекції на цю вісь початку і кінця вектора, взята зі знаком «+», якщо кут між вектором і віссю гострий і знаком «-», якщо цей кут тупий (рис. 16).

Очевидно, що коли , то =0, і навпаки.

Основні властивості проекцій:

1. = (рис. 16);

2. = (рис. 17);

3. = + (рис. 18).

Властивість 3 виконується для суми скінченного числа векторів.