Элементарная теория классического эффекта Холла (для носителей заряда одного типа)

Сущность классического эффекта Холла заключается в возникновении ЭДС, называемой ЭДС Холла, в направлении, перпендикулярном направлению тока, протекающего через образец, и направлению действующего на образец магнитного поля. Впервые появление поперечной (холловской) разности потенциалов в образце, находящемся в таких условиях, было зарегистрировано Э. Холлом в 1879 году на тонких пластинах золота.

Появление холловской разности потенциалов связано с действием силы Лоренца на движущиеся в кристалле заряды. Для количественного рассмотрения предположим, что образец полупроводника в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.1, а) имеет ширину а, толщину b и длину l, а ток протекает слева направо. В случае, если ток создается дырками, то скорость дрейфа V _p имеет то же направление, что и ток I (рис. 2.1, а, б). Если же носителями тока являются электроны, то V _n направлена в противоположную сторону (рис. 2.1, а, в).

 

Рис. 2.1. Отклонение электронов и дырок, движущихся в магнитном поле, в образце (а) и, в частности, дырок(б) и электронов (в).

 

Поместим полупроводник во внешнее магнитное поле, чтобы индукция В была направлена перпендикулярно току (к нам). При наличии внешнего магнитного поля на движущиеся носители тока действует сила Лоренца, которая перпендикулярна скорости их движения V и индукции магнитного поля B:

(2.1)

Для дырок векторное произведение и сила Лоренца будут направлены вниз, тогда как для электронов, заряд которых отрицателен, векторное произведение направлено вверх, а сила Лоренца – вниз (правило левой руки).

Следовательно, как дырки (в полупроводнике p -типа), так и электроны (в полупроводнике n -типа) будут отклоняться магнитным полем на нижнюю грань, а верхняя грань будет обедняться в первом случае дырками, во втором – электронами. Таким образом, в полупроводнике р- типа нижняя грань заряжается положительно, а верхняя грань – отрицательно. В результате возникает поперечное электрическое поле, называемое холловским полем, с напряженностью Е_x, которое направленно снизу вверх. В полупроводнике n –типа нижняя грань (при том же направлении тока) заряжается отрицательно, верхняя – положительно и холловское поле направлено сверху вниз. Если в переносе электрического тока участвуют и дырки и электроны (случай смешанной проводимости), то картина значительно усложняется. Этот случай рассмотрен в Приложении А.

Положения дырки и электрона, отклоненных магнитным полем при дрейфовом перемещении на протяжении длины свободного пробега Lp и Ln изображены на рис. 2.1. При этом предполагается, что холловское поле еще отсутствует. Углы φn и φp называют углами Холла.

Если изобразить векторы плотности тока дырок и электронов, то, учитывая направления поворотов φ_n и φ_p, имеем, что плотности тока j_p и j_n поворачиваются в противоположные стороны (рис. 2.2 а, б). Здесь предполагается, что либо холловское поле еще не действует, либо имеется неограниченный по направлению b образец (последнее можно моделировать с помощью образца в виде диска).

 

Рис. 2.2. Изменение направления плотности тока дырок (а) и электронов (б) в магнитном поле; jpy и jny – проекции плотности тока на направление внешнего электрического поля.

 

В обычных условиях для ограниченного образца полупроводника накопление зарядов, отклоненных магнитным полем, происходит до тех пор, пока не уравновесятся силы, действующие на электрон (то есть сила, связанная с возникающим холловским полем не нейтрализует силу Лоренца). После достижения указанного динамического равновесия можно считать, что при наличии одного типа носителей заряда плотность тока j_p и j_n не отклоняется магнитным полем. Следовательно, при дальнейшем длительном пребывании полупроводника с током в поперечном магнитном поле устанавливается определенная поперечная разность потенциалов, которая при разомкнутой цепи и есть ЭДС Холла. Полная напряженность поля E_n является векторной суммой E и E_xn составляет с E угол Холла φ; (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Угол Холла в дырочном (а) и электронном (б) полупроводниках.

 

Итак, при одном типе носителей заряда условием, определяющим холловское поле, является равенство абсолютных значений силы Лоренца и силы возникающего холловского поля:

(2.2)

или

(2.3)

Равенство (2.3) не может выполняться одновременно для всех электронов (дырок), имеющих различные по величине и направлению скорости. В действительности стационарное состояние наступает не тогда, когда сила Лоренца уравновешивает силу электрического поля для каждого электрона (это вообще не может быть), а когда ток, создаваемый холловским полем, компенсирует ток на боковую грань, создаваемый магнитным полем. Поэтому в выражении (2.3) стоит средняя скорость дрейфа.

Умножая обе части (2.3) на концентрацию электронов n, получим для полупроводника

n –типа

(2.4)

Поскольку произведение neV_ср равно плотности тока, то есть:

(2.5)

где а·b=S – площадь поперечного сечения образца, показанного на рис. 2.1, то на основании (2.4) и (2.5) получаем

(2.6)

Разность потенциалов = E_xnb будет иметь вид:

(2.7)

Более точные расчеты, выполненные с учетом статистического распределения носителей заряда по скоростям в невырожденных полупроводниках, показывают, что

(2.8)

где А – постоянная величина, так называемый холл–фактор. Его значение определяется механизмами рассеяния.

Для полупроводниковых материалов основными механизмами рассеяния носителей тока являются рассеяние на тепловых колебаниях решетки и на ионах примесей. При рассеянии электронов на акустических колебаниях решётки, что имеет место в классических полупроводниковых материалах (например, в Si, Ge, InSb) при относительно высоких температурах (включая комнатную),

При рассеянии на ионах примеси

В металлах и сильно вырожденных полупроводниках, в которых все носители имеют одинаковую тепловую скорость, можно принять A =1.

Для полупроводника n -типа формулу (2.8) можно переписать в виде

(2.9)

где е – заряд электрона.

Коэффициент пропорциональности

(2.10)

называют постоянной Холла или коэффициентом Холла.

Для полупроводника р –типа коэффициент Холла

(2.11)

Соотношения (2.8), (2.10) и (2.11) играют чрезвычайно важную роль в физике полупроводников. Они показывают, что концентрация носителей заряда, их знак могут быть найдены экспериментально. Для этого необходимо в образце с известными геометрическими размерами измерить холловскую разность потенциалов и определить коэффициент Холла:

(2.12)

Зная коэффициент Холла и удельную электрическую проводимость материала, можно рассчитать холловскую подвижность . Действительно, домножив обе части уравнения типа (2.10) на , нетрудно установить взаимосвязь между этими величинами в виде следующего соотношения:

(2.13)

Следует иметь ввиду, что холловская подвижность совпадает с дрейфовой только при А =1.

Входящую в выражение (2.13) величину также можно определить экспериментально, измерив (см. ниже), или же, если известно сопротивление образца R_обр, рассчитать, воспользовавшись формулой:

 

(2.14)

где l, a, b – геометрические параметры образца.

 

Необходимо отметить, что при выводе выражения для коэффициента Холла и холловской подвижности использовались формулы (2.5) и (2.12), которые справедливы только в случае, когда магнитное поле отсутствует либо оно мало. Условие слабого магнитного поля можно записать в виде . Как правило, это условие выполняется при измерении эффекта Холла.