ПРИЛОЖЕНИЕ А. Рассмотрим полупроводник со смешанной электропроводностью, в котором нельзя пренебрегать ни электронами

Теория эффекта Холла для полупроводника со смешанной электропроводностью.

Рассмотрим полупроводник со смешанной электропроводностью, в котором нельзя пренебрегать ни электронами, ни дырками.

Как указывалось, векторы плотности токов и отклоняются в разные стороны, поэтому для смешанного полупроводника необходимо изображать диаграмму токов. На рис. 1п. показана эта диаграмма в предположении, что холловское поле еще не действует.

Рис. 1п. Отклонение токов при смешанной электропроводности

Полная плотность тока j является векторной суммой плотностей токов и и составляет угол j с направлением внешнего поля , создающего дрейф носителей заряда. Следовательно,

(1п.1)

Выберем оси координат так, чтобы ось x была направлена по полю или против поля Холла, ось у – по внешнему полю E, ось z – по магнитному полю В. Тогда для тангенса угла j (малого) имеем

(1п.2)

где и – составляющие вектора полного тока по осям х и у (имеются в виду абсолютные значения всех величин). В соответствии с рис. 1п.

(1п.3)

Здесь положили , считая углы и малыми, т.е. рассматривая слабые магнитные поля. Составляющая плотности тока

(1п.4)

Ввиду малости углов j_p и j_n синусы заменены на углы. Последние можно выразить из отношений, очевидных из рис. 1п. Этот рисунок соответствует динамическому равновесию, и поле Холла достигает установившегося значения. Имеем:

(1п.5)

 

(1п.6)

Причем E можно выразить следующим образом:

(1п.7)

 

(1п.8)

Это использовано в соотношении (1п.3).

 

Согласно (2.9):

(1п.9)

 

(1п.10)

Следовательно, имеем

(1п.11)

 

(1п.12)

 

Подставляя (1п.11) и (1п.12) в (1п.4), получаем

(1п.13)

 

Еcли подставим (1п.13) и (1п.3) в выражение (1п.2), то

(1п.14)

 

Кроме того, по формуле (1п.11)

(1п.15)

 

Аналогичным образом для угла j можно записать

(1п.16)

где σ=e(pµ_p+nµ_n).

 

Сравнивая (1п.14) и (1п.16), имеем

(1п.17)

Таким образом, получено общее выражение для коэффициента Холла. Оно справедливо, например, для случая, когда электропроводность возникает в нескольких зонах одновременно при участии нескольких сортов носителей. Обычно это электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны в области собственной проводимости в сильно компенсированных материалах или так называемых полуизоляторах, либо возбуждённые, например светом, неравновесные носители. Соотношения (1п.10) и (1п.11) вытекают из него как частные случаи, если положить р=0 или n=0. Из выражения (1п.17) видно, что понятие "вклада" носителей разного типа в эффект Холла существенно отлично от их вклада в электропроводность. Во-первых, вклад разностный, а во-вторых, вклады электронов и дырок усиливаются произведениями концентраций на квадраты подвижностей.

В области собственной проводимости согласно (1п.17)

(1п.18)

Поскольку обычно m_n> m_p, то R_xi является величиной отрицательной.

Как видно из соотношений (1п.11) и (1п.12), углы Холла дырок и электронов пропорциональны произведению подвижностей на индукцию магнитного поля. Кроме дрейфовых подвижностей, вводят понятие холловских подвижностей, которые определяют в виде

(1п.19)

 

(1п.20)

Холловские подвижности при А=1 совпадают с дрейфовыми. Ранее использовались приближенные выражения в предположении малости углов j_p, j_n, j. Соответственно магнитные поля, для которых указанные углы малы, называют слабыми. Критерии слабого магнитного поля выражаются неравенствами:

(1п.21)

 

(1п.22)

где и – длины свободного пробега дырок и электронов; и – радиусы дуг окружностей, по которым закручиваются дырки и электроны под действием силы Лоренца. В частности, например, для германия при и В= 1 Тл неравенство (1п.22) выполняется. Поскольку подвижность дырок меньше подвижности электронов, то (1п.21) также выполняется. Причем индукция 1 Тл является "слабой" условно только с точки зрения выполнения указанных неравенств. В сильных полях, которые определяются неравенствами с противоположным знаком, коэффициент А=1. Для металлов и вырожденных полупроводников, независимо от величины В, имеем А=1.