Одномерный кристалл

Электронная система, в которой свободный электрон может распространяться только в одном направлении, и ограничен в своем распространении в двух других, представляет из себя одномерный кристалл.

рис.5. Пример конструкции одномерного кристалла, когда движение электронов ограничено потенциальными барьерами в направлениях y и z.

Уравнение Шредингера в этом случае записывается в виде:

, (44)

где потенциал в x и y – измерениях иллюстрируется рис.5.

Предполагая, что свободное распространение электрона в x-направлении не зависит от двух других координат, возможное решение задачи записывается в виде:

. (45)

В общем случае переменные в уравнении не разделяются в случае конечной высоты потенциальных барьеров и уравнение Шредингера

(46)

является более сложным для решения, чем в случае единственной квантовой ямы.

Если допустить, что барьеры не проницаемы для электрона, то имеется решение уравнения в виде стоячих волн:

, (47)

когда φ;=0 на границах потенциальной ямы и

. (48)

Подставляя эти выражения в уравнение при V =0, находим систему дискретных уровней:

. (49)

Вдоль оси x электрон двигается свободно и обладает полной энергией

. (50)

 

рис.6. Плотность электронных состояний в случае 1D-кристалла.

Плотность состояний рассчитывается вдоль той же линии, как это имеет место в случае квантовой ямы.

. (51)

В этой простой модели

(рис.6).