Линейные операторы.

 

1. Определение линейного оператора

Пусть даны два линейных вещественных пространства V и W, размерности которых соответственно равны m и n.

Определение: будем говорить, что задан оператор из V в W, если каждому

сопоставлен в соответствии единственный и писать

О пределение: вектор у назовем образом вектора х, а х прообразом у. Это

записывают так:

Определение: два оператора и называются равными, если

Определение: оператор называется биективным, если каждый вектор имеет

прообраз и притом единственный.

Определение: оператор называется линейным, если выпрлняются

условия: 1.

2.

Из определения следует: Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор т.к. =

Определение: если задан оператор и W = V то f называют оператором

пространства V. Также оператор f можно называть

преобразованием пространства V.

Определение: если , то оператор f называется тождественным.

2. Матрица линейного оператора.

Пусть линейный оператор f переводит базисные векторы в векторы . Тогда

……………………………..

Определение: матрица называется матрица линейного

оператора в базисе

Заметим, что в i – м столбце матрицы А стоят координаты в базисе .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица оператора в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице порядка n соответствует линейный оператор n – мерного пространства.

 

3. Характеристическое уравнение линейного оператора.

 

Теорема 1. Если линейный оператор f в некотором базисе имеет

матрицу

А и в базисе матрицу В, то , где

- произвольное число, Е – единичная матрица порядка n.

Заметим, что является многочленом степени n относительно .

Определение: многочлен называется характеристическим многочленом

матрицы А или оператора f.

Определение: характеристическим уравнением линейного оператора f называется

уравнение , где А – матрица этого оператора в

некотором базисе.

Уравнение называется также характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами линейного оператора, аи также матрицы А.

Теорема 1. утверждает, что характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.

Определение: Система всех характеристических чисел линейного оператора

называется его спектром.

Пусть линейный оператор f имеет в некотором базисе матрицу .

Характеристическим уравнением его будет следующее уравнение:

или, выполняя вычитание матриц,

.

Определение: решения этого уравнения называются собственными

числами матрицы А.

Каждому собственному числу соответствует набор векторов, называемых собственными векторами, они удовлетворяют уравнению . Заметим, что если - собственный вектор, соответствующий собственному числу , то этому же числу соответствует вектор вида , где - произвольное число.

 

4. Евклидово пространство.

Для того, чтобы в линейном пространстве можно было измерить длины и углы, вводят новую операцию – скалярное произведение.

 

Пусть - n – мерное линейное пространство. Каждой паре векторов и ставится в соответствие число - скалярное произведение, обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам.

 

Аксиома 1. Скалярное произведение векторов коммутативно: .

Аксиома 2. Скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно

сложения векторов: .

Аксиома 3. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения:

.

Аксиома 4. Скалярный квадрат вектора неотрицателен: причем

тогда и только тогда, когда .

Линейное пространство размерности n со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам 1 – 4, называется n – мерным евклидовым пространством и обозначается .

 

Пример 1. Е вклидовым пространством является множество всех векторов

обычного трехмерного пространства. Скалярное произведение вводится как

произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Пример 2. Евклидовым пространством является множество Т функций,

непрерывных на отрезке .Скалярное произведение функций f определяется

как и определяется как Выполнение аксиом 1-4 проверить

самостоятельно.

Определение:Величиной угла между векторами и называется угол

такой, что , где - норма вектора .

 

Пусть линейный оператор f переводит базисные векторы в векторы , т.е. . Тогда образ любого вектора можно выразить через образы базисных векторов