Агрегатные индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.

Агрегатная форма индексов цен, в которой изменение цен увязывалось с конкретной массой товаров, была введена в практику расчетов во второй половине XIX в. В 1864 г. немецкий экономист Э. Ласпейрес предложил индекс, который отражает изменение цен и строится по продукции базисного периода. Формула агрегатного индекса цен Ласпейреса представляет собой следующее отношение:

Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько раз товары базисного периода подорожали или подешевели в результате изменения цен на них в отчетном периоде. Эти особенности индекса Ласпейреса обусловливают его применение при прогнозировании объема товарооборота, в связи с намечаемыми изменениями цен на товары в предстоящем периоде.

В 1874 г. немецкий экономист Г. Пааше впервые предложил агрегатный индекс цен с отчетными весами. Формула этого индекса выглядит следующим образом:

Индекс цен Пааше характеризует изменение цен отчетного периода по сравнению с базисным по товарам и услугам, реализованным в отчетном периоде, и фактическую экономию или перерасход от изменения цен.

Кроме того, при построении общего индекса цен в качестве соизмерителей индексируемых величин (р₁ и р₀) могут применяться средние величины реализации товаров за два или большее число периодов.

Разность числителя и знаменателя агрегатного индекса цен показывает, как в абсолютном выражении изменилась общая стоимость продукции за счет роста (сокращения) цен на продукцию:

Американский экономист И. Фишер предложил «идеальный» индекс, названный его именем, представляющий среднюю геометрическую из произведения двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше:

Данную формулу можно использовать и для определения индекса физического объема.

Идеальность формулы Фишера заключается в том, что индекс обратим во времени, т.е. не зависит от выбора базы сравнения. Недостаток же формулы в том, что она лишена конкретного экономического содержания (разность между числителем и знаменателем не показывает никакой реальной экономии или потерь вследствие изменения цен).

Индекс Фишера в силу сложности расчета и трудности экономической интерпретации на практике используется довольно едко. Кроме того, многочисленные расчеты показали, что вполне можно применять не среднюю геометрическую, а среднюю арифметическую величину из индексов Ласпейреса и Пааше для получения осредненной величины индекса.

Рассмотрим основные приемы применения индексного анализа на примере

Пример. Имеются следующие данные о ценах реализации товаров, в руб.:

Товар	Ед.изм.	Базисный период	Текущий период
Цена за 1 ед.	Количество	Цена за 1 ед.	Количество
А	т
Б	шт.

Определить:

1. агрегатный индекс цен на товары, взвешенный по продукции текущего периода (индекс Пааше) и по продукции базисного периода (индекс Ласпейреса), а также «идеальный» индекс Фишера;

2. агрегатный индекс физического объема продажи товаров и услуг в сопоставимых ценах по методикам Пааше и Ласпейреса;

3. агрегатный индекс товарооборота;

4. абсолютный прирост стоимости товаров вследствие изменения цен и объема продаж в целом по двум видам товаров.

Решение.

1) Агрегатные индексы цен:

Таким образом, выполненные расчеты имеют разные показания индексов цен. Это объясняется тем, что индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют качественные особенности изменения цен.

В текущем периоде по сравнению с базисным наблюдался рост цен на товары А и Б на 16,9 % по формуле Ласпейреса, на 16,98 % – по формуле Пааше. Индекс Фишера дает осредненную величину повышения цены – 16,94 %.

2) Агрегатные индексы физического объема:

3) Агрегатный индекс выручки от реализации или товарооборота:

Для расчета агрегатного индекса выручки от реализации также можно воспользоваться любой из двух моделей:

 

4) Абсолютный прирост стоимости товаров:

руб.

• вследствие изменения цен:

руб.

руб.

Величина этого показателя характеризует перерасход средств населением вследствие изменения цен при покупке товаров данного ассортимента на 35500 руб. (по формуле Ласпейреса) и на 45000 руб. (по формуле Пааше) по ценам, повышенным на 16,9% или 16,98% соответственно;

• вследствие изменения объема продаж:

руб.

руб.

Таким образом, выручка от реализации продукции вследствие изменения объема продаж увеличилась на 55000 руб. (по формуле Ласпейреса) и на 64500 руб. (по формуле Паше).

-4-

Средневзвешенный индекс – средняя величина из индивидуальных индексов. При его расчете используются две формы средних величин: арифметическая и гармоническая. Применение той или иной формулы средневзвешенного индекса зависит от имеющейся в распоряжении информации.

Средний гармонический индекс цен применяется в тех случаях, когда неизвестны отдельные значения р₁ и q₁, но дано их произведение р₁q₁ и индивидуальные индексы цен i_р = p₁/p₀, а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами. Индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы средний гармонический индекс совпал с агрегатным.

Средний гармонический индекс цен:

, т.к. , то

Весами индивидуальных индексов в данном индексе является стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в ценах того же периода р₁q₁..

Средний арифметический индекс цен получается в том случае, если из индивидуального индекса цен выразить цену отчетного периода , а затем подставить ее в числитель агрегатного индекса цен. Данный индекс тождествен агрегатному индексу Ласпейреса и имеет следующий вид:

Средний арифметического индекса физического объема продукции:

Средний гармонический взвешенный индекс физического объема продукции:

Средние индексы широко применяются для анализа состояния рынка ценных бумаг. Индикаторы рынка ценных бумаг рассчитываются по их видам: акции, облигации, опционы и др. Можно выделить следующие интегральные показатели: индексы Доу-Джонса, индекс Стендарта и Пура.

Покажем особенность применения средних индексов на сле­дующем примере.

Пример. Потребление товаров и услуг населением района характеризуется следующими показателями:

Виды товаров и услуг	Стоимость товаров и услуг в I квартале в текущих ценах, млн руб.	Стоимость товаров и услуг в II квартале в текущих ценах, млн руб.	Изменения во II квартале по сравнению с I кварталом, %
цен	объема продаж
Продовольственные товары			+20	-10
Непродовольственные товары			+15	-20
Платные услуги			+50	Без изменений

Определить:

1) индивидуальные индексы цен и физического объема;

2) общий индекс на товары и услуги;

3) общий индекс физического объема продажи товаров и услуг в сопоставимых ценах;

4) общий индекс товарооборота.

Решение

1) Индивидуальные индексы рассчитываются по формулам:

следовательно,

2) Тогда сводные индексы цен на товары и услуги, рассчитанные по формулам Паше и Ласпейреса с учетом индивидуальных индексов, составят:

или 121,8 %;

или 122,3 %.

Во II квартале по сравнению с I кварталом наблюдался рост цен на все виды товаров и услуг на 21,8 % по формуле Пааше, на 22,3 % - по формуле Ласпейреса.

3) Сводные индексы физического объема на товары и услуги, рассчитанные по формулам Паше и Ласпейреса с учетом индивидуальных индексов, составят:

или 86,5 %

или 88,5 %.

Таким образом, во II квартале по сравнению с I кварталом в целом имеет место снижение объема реализации продукции и услуг в натуральном выражении на 13,5 % по формуле Ласпейреса, на 11,5 % – по формуле Пааше.

4) Общий индекс товарооборота составит:

, или 106,68 %.

Индекс показывает, что стоимость товаров и услуг в среднем увеличилась на 6,68 %.

-5-

Для однородной совокупности возможно использование средних значений, общее изменение которых обусловлено взаимодействием двух факторов: изменением отдельных уровней показателя и изменением в структуре весов.

Под изменением структуры здесь понимают изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние в общей их численности. Например, динамика среднедушевого дохода населения зависит от изменения среднего дохода каждого человека и от изменения количества людей с более высокими и низкими доходами в общей численности; средняя цена на хлеб может изменяться не только под влиянием изменения цены хлеба, но и в результате изменения состава товарной массы. Эта задача решается с помощью индексного метода, то есть путем построения системы взаимосвязанных индексов. Система включает три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин какого-либо признака в отчетном и базисном периодах:

Данный индекс характеризует не только изменение индивидуальных цен в местах продажи, но и изменение структуры реализации по предприятиям розничной и оптовой торговли, рынкам, городам и регионам.

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре какой-либо однородной совокупности, то есть когда влияние структурного фактора устранено:

Индекс постоянного состава может быть рассчитан и в агрегатной форме:

Индекс структурных сдвигов необходим для измерения влияния только структурных изменений на исследуемый средний показатель и может быть рассчитан по формуле:

Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов увязываются в следующую систему:

Если в индексах средних уровней в качестве весов используются удельные веса единиц совокупности в общей численности совокупности, то есть показатели доли (d = f/Σf), то система индексов может быть записана в следующем виде:

Система индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов строится для изучения динамики среднего уровня цен, себестоимости, фондоотдачи, рентабельности, производитель­ности труда, заработной платы и других вторичных признаков.

Помимо мультипликативной модели, на основе индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов может быть построено и аддитивное разложение. Так, общий абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности находится по формуле:

или

Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и за счет структурных изменений рассчитывается соответственно как разность числителей и знаменателей индексов постоянного состава и структурных сдвигов:

или

или

 

В общем виде аддитивное разложение имеет вид: