Методика расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся осесимметричном притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте.

В Гл. 8 приведено решение (8.2.27) для неустановившегося притока сжимаемой жидкости к несовершенной скважине в однородно-анизотропном неограниченном по протяженности пласте по линейному закону фильтрации. Это решение может быть использовано для определения понижения давления на забое скважины после ее пуска, повышения давления на забое после остановки скважины, а также с целью анализа распределения потенциала (давления) в пласте во время работы скважина. Трудность использования указанного уравнения для практических целей заключается в его сложности. В приведенном виде решение не может быть попользовано для инженерных задач по двум причинам. Во-первых, функция (8.2.27) очень сложная и требует своего табулирования. Во-вторых, вид такой функции исключает возможность выделить время в качестве слагаемого в решении (8.2.27) и свести его к уравнению прямой, что необходимо для интерпретации кривых понижения или восстановления давления в скважинах традиционными методами.

Чтобы избежать упомянутых трудностей, можно поступить следующим образом. Как известно, в теории и практике гидродинамических исследований широко используется интегральная показательная функция. Несовершенство скважины при этом учитывается путем введения добавочных фильтрационных сопротивлений С₁, взятых из решения задач для установившегося притока. Насколько такое допущение правильно, пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано. Сведем функцию (8.2.27) к интегральной показательной и произведем расчет функции сопротивления (аналог добавочного сопротивления С₁) при неустановившемся притоке, зависящей не только от геометрии пласта, но и от параметра Фурье (f ₀).

 

9.3.1. Обоснование функции фильтрационного сопротивления. За основу возьмем функцию (8.2.28). Следовательно, для условий на забое интеграл (8.2.27) примет вид:

. (9.3.1)

С другой стороны, запишем следующее выражение:

. (9.3.2)

Решая совместно (9.3.1) и (9.3.2), находим

(9.3.3)

или

. (9.3.4)

Анализ показывает следующее. Равенство (9.3.4) содержит в себе интеграл вероятности Ф (х) и ряд

. (9.3.5)

Для расчета на ЭВМ функции сопротивления (9.3.4) требуется рассмотреть поведение (9.3.5), определить правило вычисления интеграла вероятности и выяснить условия его сходимости при заданных значениях f ₀, , , t ^*.

Интеграл вероятности, определяемый как

(9.3.6)

для всех значений <1, вычислялся с помощью ряда

. (9.3.7)

Число используемых членов ряда определялось из соотношения

. (9.3.8)

Для значений <3,767 использовалось аппроксимирующее выражение:

, (9.3.9)

где а ₀=1; а ₁=0,07052308; а ₂=0,04228201; а ₃=0,009270527; а ₄=0,0001520143; а ₅=0,0002765672; а ₆=0,000430638; для всех >3,767 принималось Ф (Х)=1. Область определения параметров ряда (9.3.5) лежит в пределах: ; . Так как значения параметров фиксированы, то ряд (9.3.5) зависит только от п. Члены рассматриваемого ряда представляют собой разность интегралов вероятности.

Интеграл вероятности – это ограниченная, монотонно возрастающая функция на интервале от 0 до ¥. Тогда при некотором п будет выполнено условие [27]

. (9.3.10)

Это будет допустимо, когда

. (9.3.11)

Разрешая неравенство (9.3.11) относительно п, находим число членов ряда (9.3.5). Интеграл (9.3.1) при =1 вычислялся методом Гаусса. Контроль точности вычислений проводился по значениям интегральной функции.

Расчет безразмерной депрессии и функции сопротивления производился соответственно по формулам (9.3.1) и (9.3.4) на БСМ-Минск-32, ОС “Фортран” в СибНИИНП объединения “Главтюменнефтегаз” В.И. Леоновым. Для расчета был разработан алгоритм. Параметры менялись в широком диапазоне: ; . Функция (9.3.1) затабулирована (см. Прил. 1 [28]); расчетные значения приведены в Прил. 2.

 

9.3.2. Сопоставление значений добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося и квазинеустановившегося притоков. Анализы показали, что при 0,10 для любого функция сопротивления не зависит от параметра Фурье f ₀, а зависит только от геометрии пласта (рис. 9.9). При <0,01 с некоторого значения параметра Фурье функция безразмерного сопротивления также не зависит от , что свидетельствует о квазиустановившемся притоке. Как уже упоминалось ранее, в нефтегазопромысловой практике расчетов, связанных с неустановившемся притоком и учетом несовершенства скважин, принимаются значения фильтрационных сопротивлений, относящихся к установившемуся притоку в ограниченном пласте. Приемлемость этого допущения пока еще не обоснована.

Нами произведены сопоставления значений функции сопротивления R () для квазиустановившегося притока при f ₀=10 созначениями добавочных фильтрационных сопротивлений при для установившегося притока в ограниченном пласте. Графические зависимости и (рис. 9.10), а также (рис. 9.11) показывают, что всюду значения функции сопротивления превосходят значения фильтрационных сопротивлений при установившемся притоке (R>C ₁). Например, при =0,2 имеем: R / С ₁=2,14 для =1000 и R / С ₁=3,47 для =10; при =0,9 имеем: R / С ₁=2,7 для R =1000 и R / С ₁=27,4 для =10. С другой стороны, следует, отметить, что качественный характер поведения функции и аналогичный (см. рис. 9.9-9.11).

Заметим, что в условиях взаимодействия несовершенных нефтяных и газовых скважин при линейном и нелинейном законах фильтрации формулы и методика расчета фильтрационных сопротивлений, приведенные здесь, остаются справедливыми.

Подводя итоги изложенному, можно сделать следующие выводы:

– Численные значения функции для неустановившегося притока при любом вскрытии пласта всегда меньше численных значений фильтрационных сопротивлений при квазиустановившемся движении;

– Численные значения функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося и квазиустановившегося притоков превосходят в несколько раз значения добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося притока в однородном ограниченном пласте; значений фильтрационных сопротивлений при квазиустановившемся движении;

– Численные значения функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося и квазиустановившегося притоков превосходят в несколько раз значения добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося притока в однородном ограниченном пласте;

– Полученное аналитическое решение для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине в бесконечном по протяженности пласте преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно производить интерпретацию кривых восстановления забойного давления;

– Предложенный здесь прием преобразования уравнения притока в интегральной форме (9.3.1), произведенные расчеты и табулирование функций и , позволят успешно реализовать для практических целей любое из решений, приведенных в Гл. 9.

 

Рис.9.9. Характеристика изменения функции фильтрационного сопротивления

при параметре

 

 

Рис. 9.10. Сопоставление значений функции сопротивления для квазиустановившегося притока при f ₀=10^-9 со значениями добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося притока

 

Рис. 9.11. Зависимость отношения при параметрах: