1 страница. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0<m<n и, значит, 0<m/n<1. Следовательно, 0<Р(А)<1. Т.о., вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Замечание. Из определения вероятности следует, что элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями.

2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

Где - статистическая вер-ть события А; w(A) - относительная частота (частость) события А; m - число испытаний, в которых появилось событие А; n - общее число испытаний.

В отличие от «математической» вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вер-ть является характеристикой опытной, экспериментальной. Если Р(А) есть доля случаев, благоприятствующих событию А, которая определяется непосредственно, без каких-либо испытаний, то есть доля тех Фактически произведенных испытаний, в которых событие А появилось.

Статистическое определение вер-ти, как и понятия и методы теории веро-тей в целом, применимы не к любым событиям с неопределенным исходом, которые в житейской практике считаются случайными, а только к тем из них, которые обладают определенными свойствами.

1) Рассматриваемые события д.б. исходами только тех испытаний, которые м.б. воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2) События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот. Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа. Оказалось, что этим постоянным числом является вероятность события. Факт приближения относительной частоты, или частости, события к его вер-ти при ­ числа испытаний, сводящихся к схеме случаев, подтверждается многочисленными массовыми экспериментами, проводимыми разными лицами со времен возникновения теории вер-тей.

3) Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вер-ть события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте. Резюмируя, можно сказать, что теория вер-тей изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка относительной частоты их появления. Так, утверждение, что при выполнении определенного комплекса условий S вероятность события = р, означает не только случайность события А, но и определенную, достаточно близкую к р, долю появлений события А при большом числе испытаний; а значит, выражает определенную объективную (хотя и своеобразную) связь между комплексом условий S и событием А (не зависящую от субъективных суждений о наличии этой связи того или иного лица). И даже просто существование вероятности р (когда само значение р неизвестно) сохраняет качественно суть этого утверждения, выделенную курсивом.

Легко проверить, что свойства вер-ти, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Замечание: 1) Статистическая вер-ь может быть найдена только после проведения опытов, а для классической вероятности опыты не нужны. 2) Статистическая вер-ть получается различной для разных серий опытов, однако при достаточно большом количестве опытов практически достоверно, что статистическая вер-ть будет сколь угодно мало отличатся от классической вер-ти (устойчивость статистической вер-ти).

3. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теоре­ма сложения вероятностей (с доказательством).

Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

2 события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Аналогично суммой конечного числа событий А₁, А₂,..., А_k называется событие А = А₁+А₂ +... + А_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А i, (i = 1,..., k). Из определения следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А).

Теорема сложения вероятностей:

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В +... + К) = Р(А) + Р(В) +... + Р(К).

□ Докажем теорему для схемы случаев, рассматривая сумму двух событий.

Пусть в результате испытания из общего числа n равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания (случаев) событию А благоприятствует m_l случаев, а событию В ­ m₂ случаев (рис. 1.4).

Согласно классическому определению .

Т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев, благоприятствующих одному из этих событий, не благоприятствует другому (рис. 1.4). Поэтому событию А+В будет благоприятствовать m_l+ m₂ случаев. Следовательно, ■

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

P(A) + P(B) + … + P(K) = 1.

□ Если события А,В,…,К образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.

Т.к. события А,В,…,К – единственно возможные, то событие А + В + … +К, состоящее в появлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий, является достоверным, то его вероятность = 1:

Р(А + В + … + К) = 1.

Т.к. события А,В,…,К – несовместные, к ним применима теорема сложения:

Р(А + В + … + К) = Р(А) + Р(В) + … + Р(К) = 1.■

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий = 1:

□ Утверждение следует из того, что противоположные события образуют полную группу. ■

4. Полная группа событий. Противоположные события. Соот­ношение между вероятностями противоположных событий (с вы­водом).

Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Это означает, что в результате испытания должно произойти 1 и только 1 из этих событий.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. 2 несовместимых события из которых 1 должно обязательно произойти называются противоположными. Событие противоположное событию А обозначают .

Доказательство теоремы о полной группе событий

1) Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события = 1, то Р (A₁ + A₂ +... + A_n) = 1.

2) Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А₁ + А₂ +... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) +... + Р (А_n).

3) Сравнивая (1) и (2), получим Р (А₁) + Р (А₂) +... + Р (А_n) = 1.

5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятнос­тей (с доказательством).

События А,Б,В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий.

События называются независимыми, если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них.

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

Р_А(В) = Р(В) (или Р_А(В)=Р(В)).

В противном случае, если Р_А(В) ≠ Р(В)(или Р_А(В) ≠ Р(В)). событие В называется зависимым от А.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью (Р_A(В) - условная вероятность события В относительно А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Исходя из классического определения вероятности, формулу Р_A(В) = Р(АВ) / Р(А) где (Р(А)>0) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения. Условная вер-ть события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна Р_A(В) = Р(АВ) / Р(А) где (Р(A)>0).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) • Р_А(В) = Р(В) • Р_В(А).

Доказательство

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р(ВА) = Р(В)•Р_В(А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р(В)•Рв(А).

Сравнивая формулы Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) и Р(АВ) = Р(В)•Рв(А), заключаем о справедливости равенства Р(А)•Р_А(В) = Р(В)•Рв(А).

Теорема (правило) умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

P(ABC...KL) = Р(А)· Р_А(В)· Р_АВ(С)... Р_АВС...К(L),

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7 / 9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) = (3/10)• (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B(А) = 3/9, Р(В)•Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.

6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

Формула полной вероятности. Теорема.

Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) A1,А2,…,Аn образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

□ По условию гипотезы А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, следовательно, они единственно возможные и несовместные. Т.к гипотезы А₁,А₂,…,А_n - единственно возможные, а событие F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то

.

В силу того что гипотезы А₁,А₂,…,А_n несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:

По теореме умножения вероятностей . ■

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А₁,А₂,…,А_n образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(A₁), Р(А₂),..., Р(А_n), известных о испытания, Т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P_F(A₁),P_F(А₂),...,Р_F(А_n).

□ Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий F и Аi в двух формах:

, откуда

или с учетом формулы полной вероятности: . ■

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события Р, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в эк-ке, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) l-му стрелку; б) 2-му стрелку?

Решение. Обозначим события:

А₁ - оба стрелка не попали в мишень; А₂ - оба стрелка попали в мишень; А₃ - 1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет; А₄ - 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал; F - в мишени одна пробоина (одно попадание).

Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события F для этих гипотез:

Р(A₁) = 0,2 · 0,6 = 0,12, Р_А1(F) = 0;

Р(А₂) = 0,8 · 0,4 = 0,32, Р_А2(F) = 0;

Р(А₃) = 0,8 · 0,6 = 0,48, Р_А3(F) = l;

Р(А₄) = 0,2 · 0,4 = 0,08, Р_А4(F) = l.

Теперь по формуле Байеса:

, ,

Т.е. вероятность того, что попал в цель l-й стрелок при наличии одной пробоины, в 6 раз выше, чем для второго стрелка.

7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Эта последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_m,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

Где .

□ Пусть и - соответственно появление и непоявление события А в i -ом испытании (i = 1,2,...,n), а - событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось m раз.

Представим событие через элементарные события .

Например, при n = 3, m = 2 событие ,

т.е. событие А произойдет 2 раза в 3 испытаниях, если оно произойдет в l-м и 2-м испытаниях (и не произойдет в 3-м), или в l-м и 3-м (и не произойдет во 2-м), или произойдет во 2-м и 3-м (и не произойдет в l-м).

В общем виде

,

Т.е. каждый вариант появления события Вm (каждый член суммы) состоит из m появлений события А и n-m непоявлений, т.е. из m событий А и из n-m событий с различными индексами.

Число всех комбинаций (слагаемых суммы) равно числу способов выбора из n испытаний m, в которых событие А произошло, т.е. числу сочетаний . Вероятность каждой такой комбинации (каждого варианта появления события Вm) по теореме умножения для независимых событий равна , т.к. , а , i = 1,2,...,n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теореме сложения вероятностей получим

.■

8. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от О и 1, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где Р - вероятность осуществления события в отдельном испытании, q - вероятность неосуществления события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний.

Где - функция Гаусса. И

Чем больше n, тем точнее приближенная формула. Приближенные значения вероятности Р_m,n на практике используются как точные при npq порядка двух и более десятков, Т.е. при условии npq ≥ 20.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(х).

1. Функция является четной, т.е. f(-x) = f(x).

2. Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ f(x) → 0.

(Практически можно считать, что уже при х > 4 f(x) ≈ 0.

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Т.к. n = 100 достаточно велико (условие npq = 100·0,8(1-0,8)=64 ≥ 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Вначале определим по формуле : .

Тогда по формуле : .

(значение f(2,50) найдено по табл.). Весьма малое значение вероятности Р₃₀₀,₄₀₀ не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна 1.

Пусть в условиях примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

.

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_m,n появления события А при большом числе испытаний n, например, Р_300,500. По формуле Бернулли:

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и q - числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления при больших n. Такие формулы, называемые, асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → 0), причем произведение nр стремится к постоянному числу λ(nр → λ), то вероятность Рm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

 

□ По формуле Бернулли или, учитывая, что , т.е. при достаточно больших n и .

Т.к. , и , то .■

Строго говоря, условие теоремы Пуассона р → 0 при n → ∞, так что nр → λ, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако, если вероятность р - постоянна и мала, число испытаний n - велико и число λ = nр - незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Т.к. р = 1/365 - мала, n = 1825 - велико и λ = nр = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то применяем формулу Пуассона:

: (по табл.)

10. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

,

Где - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

, .

Формула называется интегральной формулой Муавра­Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции:

1. Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра­Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:

,

.

Теперь по формуле , учитывая свойства Ф(х), получим

.

(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

11. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с вы­водом). Примеры.

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра­Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения nр не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине), т.е. ;

б) частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е. , Где , .