III. Функции нескольких переменных

Метрическое пространство называется совокупность объектов таких что для любых х,у определено правило p(x,y)

1.p(x,x)=0

2.p(x,y)=p(y,x)

3.p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z) p-метрика

_____________________________________________________________

G ⊂ M-открытое если для любого х пренадлежащего G существует дельта такая что

S_х^б ⊂ G в натуральных точках множества

F ⊆ М –замкнутое ó -открытое

={x:x¢F}

Опр. т. Х₀ = для любого Е>0 существует n₀ для любого n>n₀ p(x_n,x₀)<E

U_L-открытое множество (М), L ∈ A A={1,2,3….n}

{U_L}^(n)={U₁,U₂,U₃,….,U_n}

A={[0,1]} {U_L}_{L ∈[0,1]}

Множество называется покрытием множества А, если А с U_LU_L

Покрытие называется конечным если семейство множества А конечно

Теорема1. Если А конечно=> А-ограничено

Док-во.

Для любого х ∈А ∃ S_х^б: x= S_х^б => ∃ x₁,x₂,x₃…..x_n

A ⊂ S_х1^б U S_х2^б U….U S_хn^б чтд.

Теорема2. Если А-компактно=> A –замкнуто

Док-во:

Х0-предельная точка множества А, х0 ∉А

x∈A S_х0^б1 бi<(p(x,x,0))/2

для каждой точки х∈А построим окрестность S_х^б чтд.

Теорема3. Если множество А компактно => ∀ B⊂A B-бесконечно

∃ xo-предельная точка ∈B,x0∈A

Док-во. Х-предельная точка для В, х ∉А

S_х0^б => ∃ x∈B,x≠x0 противоречие.

Ограниченность и замкнутость –необходимые условия замкнутости.

Отоброжением Rⁿ->R^m называется правило которое переводит f(x) из R_n B R^m

1)n=m=1 f:R-->R y=f(x)

2)n,m=1 f:RⁿàR y=f(x)=f(x1,x2,x3….xn)

3)n=1,m f:RàR^m y=()= =y(x)

Предел функции в точке

f:RⁿàR^m

x0∈ Rⁿ

=a∈Rⁿ ∀ E>0 ∃б>0 p(x,x0)<б p(f(x),a)<E

Лемма. 1) ó∀ i=1,2,…,n

=a_i

2)n,m=1 y=f(x1,x2,….,xn)

 

∃ ó∃

Свойства пределов

1)однородность

=

2)аддитивность

= +
_____________________________________________________________________________________

Непрерывность отоброжения

Y=f(x) RⁿàR^m

x0∈D(f) f(x)-непрерывна в т. х0,если

∃ ∀ E>0 ∃ б>0: p(x,x0)<б => p(f(x),f(x0))<E

Опр.направлением в пространстве Rⁿ назовём совокупность векторов коллинеарных S

Опр. сечением функции y=f(x) в т. х0 в направлении вектора S называется функция одной переменной.

Y=f(x0+tS)=𝛗(s)

Теорема. Если функция f(x) непрерывна в т. х0=> все её сечения для любого S непрерывна в т. t=0 𝛗_s(t)=f(x0+tS) (ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО)

Т.Вейерштрасса.

Пусть f(x):RⁿàR D(f)-замкнута и ограничена а функция f непрерывна

∃ xn ∈D(f) f(xn)≤f(x) ∀x ∈ D

∃ xm ∈D(f) f(xm)≥f(x) ∀x ∈ D

Зам(о связности)

D-связно,f-непр на D=>f(D)-связное

f:RⁿàR f∈R

D-компакт

M-max f

m-min f

f:RⁿàR y=f(x)=f(x1,x2,x3,….,xn)

x0(x⁰₁,x⁰₂) △x=()

△f=f(x0+△x)-f(x0)

F(x) диференц. в т. х0 если △f=f(x0+△x)-f(x0) =(а1+△х)+α(△х)

=0

Опр. Линейн. Относ. △х част. приращение функции называется дифференциал функции

df(x0)=a1* △х1+ a2*△х2+…+an*△хn= (дифференцируемость неск переем не нашёл)

опр. Сечение f(x) в направлении

y=x₁²+x₂² S=(?)

x0=(0,0) сечение называется координатным если в качестве вектора S выбран…?

Опр. y=f(x),x0 S-напр. |S|=1

𝛗(t)=f(x0+ts)

F_s`(x0)=𝛗`(0)=

S=e_i f_i`(x0)-частная производная

ei= () x₀ts=

 

f₁`(x0)=

опр. f_s`(x0) (x0)=f<sub>s</sub>`(x0)t, t-приращ. Взятое f_s`(x0)=

 

{ }=f `(x) в точке х0

T. ∀ S =f `(x) в т. х0, S= s₁+…+ S_n (|S|=1)

 

Т.(достаточное условие существования производ., ∀ S)

y=f(x),x∈ S_x0 , ∃df(x0), |S|=1

∃ f `(x0)*S

Док-во:

= = =A*s

S=e_i ∃ =f `(x0)*s A=f `(x0)

F(x0+te_i)-f(x0)=A_i*t+α

Опр. f `(x0)-градиент функции f(x)

f(x0)-набла f `=grad f(x) в точке х0

Существование частной производной

Y=f(x) ∃ d^m f(x), x=x0

ð ∃ =r≤m x=(x₁,x₂,…,x_m) x_i≥0 ∀i

=

Зам1. Если функция непрерывна то существует диффиренциал n-го порядка

Экстремальные св-ва градиентов

Направл. S∈Rⁿ (|S|=1) называется экстремальным если производная от функции (x0)àmax

Т. об экстремальном св-ве градиента

grad max (x0)=

док-во:

(x0)=grad(f*s)=gradf* пр_хSàS||gradf

|V|=|gradf|=sqrt() чтд.

Следствие. Наибольшая скорость изменения функции в данной точке это |grad f|

Сложн. Ф нескольких переменных (суперпозиция) y=y(x(t)) RⁿàR

T.(о непрерывности сложного отобр.)

Если х=х(t)-непр. в т. х0 и y(x) непр. в т. х0 => y(x(t))-непр. в т. t0

Дифференц. Сложного отобр.

x=х(t) ∃ d x(t0)

y=y(x) ∃ dy(x0) x0=x(t0)

1) ∃ dy(x(t))

2) J_y=y^T(x0)*J_x(t0) следовательно ∃ dy(x(t))=y^T(x0)*J_x(t0)dt

dy(x(t))=y^T(x0)*x`(t0)dt

правило нахождения производной сложной функции

= *

Функции нескольких переменных заданных неявно

z=f(x,y)

f(x0,y0)=0

f(x,y)=0

опр. f(x,y)=0 не явн. Обр. задаёт ф. у(х) в окрестности точки х0,если

1) ∀x∈ S_х^б ∃! У: f(x,y)=0

=>y₀=y(x0)

f(x0,y0)=0

Теорема (о существ. и диф. Функции заданной неявно отобр.)

_S(х0,y0)^б f(x0,y0)=0 ∃ (x0,y0)≠0

ð 1)f(x,y)=0 => y=y(x) y(x0)=y0

ð 2)если ф. ∃df(x0,y0)=> ∃ y`(x)=

Зам.(о формуле диференц. неявной функции)

F(x,y)=0 y=y(x) f(x,y(x))≡0, для любого х из окрестности точки х0

+ y`(x)=0

y`(x0)=

неявные отображения

𝛗(x,y)=0 => 𝛗₁(x1 xy,..,xn,y1,y2,…,yn)=0

𝛗_m(x1,x2...xm, y1,y2,…,ym)=0 => y_j=y₁(x1,..,xn),j={1,2,…,n}

 

x= y=

 

y=y(x)=

 

y=y(x)

y`(x0)=J=() i,j=1,2….m матр Якоби

dy=y`(xo)dx

 

J=

 

Т.(о неявн. Отобр)

x ∈Rⁿ y∈R^m 𝛗=𝛗(x,y):R^n+màR^m

 

пусть выпл. условия:

1)𝛗(x0,y0)=не ноль

2) ∃ d𝛗(x_n,y_m)

3)| |≠0

=> ∃ опр.(x0,y0)

1. ∀x ∃! y: 𝛗(x,y)=0=> y=y(x)

2. ∃ dy=> =- *

= *

экстремумы

y=f(x) x∈Rⁿ, D⊂Rⁿ

опр. x0-внутр. т D=>∃ окрестность точки х0 ⊂D

x0∈D

Пусть Точка называется грани́чной то́чкой мно́жества A, если для любой её окрестности справедливо:

опр.x0∈D, x0=argminf(x) если f(x0)≤f(x) ∀x∈D

x0=argminf(x) x0-внутр f(x0)≤f(x) х∈ S_х0^б

т. Вейерштрасса

y=f(x) x∈D D-замкнут и ограниченная

ð ∃ x_m: f(x_m)≤f(x) x_m∈D

ð ∃ x_n: f(x_n)≥f(x) x_n∈D

Необходимое условие экстр.

Т.ферма x0=arglocextr f(x) ∃df(x0)=>df(x0)≡0(∀△x)

док-во

𝛗(t)=f(x0+t△x) x0=arglocextr f(x)

ð t=0 0=argloc 𝛗(t)=> 𝛗`(0)=0=df(x0)

x0=arglocextr f(x) => grad f(x0)=0

x0=0 df(x0)≡0 ∀△x

необходимые условия экстремума 2 порядка

 

x0=arglocextr f(x), d²f(x0)=> d²f(x0)>0 min ∀△x

d²f(x0)<0 max ∀△x

док-во

1. функция Лагранжа

𝛗(t)=f(x0+t△x)

𝛗`(0)=0

𝛗``(0)>0 min

𝛗```(0)<0 max

 

H(x0)=()= i,j=1 (H(x0)-матр. Гессе)

 

2. если d²f(x0) d²f(x0)=(△x)^TH*△x=

если x0=arglocmin f(x)=> H(x0)>0

если x0=arglocmax f(x)=> H(x0)<0

 

Критерий Сильвестра H>0 ó Mi>0 i=1,2….n

d²f(x0)=(△x)^TH(△x)=(H△x,△x)>0, ∀△x

достаточное условие экстремума

 

Т. Пусть y=f(x) опред. x∈ S_х0^б,x0-внутр т. обл опред ∃ d²f(x0)

 

1)f `(x0)=0

2)f ``(x0)> 0 или f ``(x0)<0

x0-argmin x0-argmax

 

док-во:

𝛗(t)= f(x0+t△x)

𝛗(t)= 𝛗(0)+ +α(t)

𝛗(0)=f(x0)

𝛗 `(0)=df(x0) 𝛗 ``(0)=d²f(x0)

 

 

𝛗(t)= 𝛗(0)+ +α

𝛗(t)- 𝛗(0)= +α, t=0

экстремумы функции нескольких переменных при наличии ограничений

y=f(x) x∈D, x∈µ-огранич.

;

D-замкнут и огранич

;

 

2)З. с огр. равенствами

;

Необх. условия в з. с огр. равенствами

; F=

 

опр. функцией Лагранжа ассоциированной задачей огран. равенствам назыв. ф.

 

β0-число β= -множитель Лагранжа L(x,β0,n)=β0f(x)+

 

dim x=n F(x)=0

m<n

Принцип множителей Лагранжа

 

∃ df, dF(x), x0=argextr f(x) => ∃₀,β∈R^m, x0=stat L(x) ó

 

док-во: пусть n=2 z=z(x,y)

z(x,y)àextr f₁(x,y)=0

 

Если x0=argextrf => => =(gradz,s), |s|=1

ð gradz||n ∃ β_грβ:β₀gradz₀+β*n=0

grad[β₀z+β*f₁]=0

 

=>

экстремум с ограничениями неравенствами

 

Постановка задачи

 

y = f(x) → extr, g(x) ≤ b,

 

ограничения на значения вектора x заданы системой неравенств.

Предположим, что в точке условного экстремума часть неравенств переходит в равенства, отсортируем g(x), b и λ так, чтобы вторые компоненты отражали строгие равенства g = (g₁^T g₂^T)^T, b = (b₁^T b₂^T)^T, λ = (λ₁^T λ₂^T)^T.

Как и прежде, функция Лагранжа в точке экстремума должна быть равна f(x), следовательно в ней (g(x)–b)^Tλ = 0. Это означает, что если имеет место неравенствоg₁(x) < b₁, то λ₁ = 0.

Для остальных компонент, наоборот, g₂(x) – b₂ = 0 и λ₂ = – dL /db₂.

Все это вместе можно записать короче

 

δL/δx = δf/δx + (δgT/δx)λ = 0; δL/δλ ≤ 0, но (δL/δλi)λi = 0 для каждого i.

 

2. Ограничения вида двусторонних неравенств.

Постановка задачи

 

y = f(x) → extr, a ≤ g(x) ≤ b,

 

ограничения на значения вектора x заданы двусторонними неравенствами.

Функция Лагранжа расширяется

 

L(x,η,μ) = f(x) + (g(x)–a)Tη + (g(x)–b)Tμ.

 

Так как в точке экстремума пребывание и на левой и на правой границе неравенства исключается, соответственные компоненты множителей η и μ никогда не бывают равными нулю одновременно. Вместо двух составляющих можно применить комбинированный множитель λ = η + μ.

Знаковые условия разнообразятся, но не более того, точка, подозрительная на условный экстремум, удовлетворяет зависимостям

 

δL/δx = δf/δx + (δgT/δx)λ = 0; δL/δη ≤ 0, δL/δμ ≥ 0, δL/δηi = (δL/δμi)μi = 0.

 

Условия соблюдения знаковой политики можно объединить в одно

 

(δL/δη) (δL/δμ) ≤ 0.

 

На границах левые или правые множители Лагранжа отличны от нуля и соответствуют частным производным функции L по элементам вектора a или b, внутри разрешимой зоны они нулевые, соответственно, компоненты λ играют роль то левого, то правого отличного от нуля множителя.