Математическое описание многофазной гетерогенной среды

1. Основные допущения

Неравновесная термодинамика, в отличие от равновесной, базируется на теории поля. В качестве аппарата теории поля рассмотрим механику гетерогенных сред и дадим математическое описание процессов с фазовыми переходами и химическими реакциями, происходящими в полидисперсных гетерогенных средах.

Рассмотрим многофазную полидисперсную среду, где одна фаза (сплошная, несущая) - газ или жидкость, а другие фазы (дисперсные r -фазы) – включения твёрдых частиц, капель жидкости или газовых пузырьков, размеры (объёмы) которых изменяются от r – dr до r + dr. Дисперсность гетерогенной фазы характеризуется функцией , так что – число включений в единице объёма смеси, размеры (объёмы) которых – от r до r + dr. В каждой из r -фаз размеры (объёмы) включений остаются постоянными, меняется только их число.

Движение смеси будем изучать при следующем допущении: расстояния, на которых параметры течения смеси меняются существенно (вне поверхности разрыва), много больше размеров включений и расстояний между ними [6, 7].

В отличие от гомогенной смеси, где каждый компонент рассматривается как занимающий весь объём смеси равномерно с другими компонентами, в гетерогенной смеси каждая фаза занимает лишь часть объёма смеси. В связи с этим возникает необходимость введения объёмных долей фаз и средних плотностей фаз в каждой точке объёма, занятого смесью:

где V – объём смеси, r – плотность смеси; – объём i -й фазы, – истинная и средняя плотности i -й фазы, – объёмное содержание (объёмная доля) i -й фазы; R – наибольший размер (объём) включений; индекс 1 относится к несущей (сплошной) фазе, индекс 2 - к дисперсной (гетерогенной) фазе.

На основании введённого допущения можно принять, что несущая фаза и все r -фазы - континуумы, заполняющие один и тот же объём и имеющие каждая свою плотность, массу, скорость, температуру. Введение многоскоростного континуума необходимо, так как скорости относительного движения фаз в смеси по порядку могут быть равны скоростям их абсолютного движения. Первую фазу будем описывать моделью вязкой жидкости. В качестве тензоров поверхностных сил и тензоров вязких напряжений примем [8]:

где – символ Кронекера; P – давление; – тензор скоростей деформаций несущей фазы; – коэффициенты вязкости, – вектор средней массовой скорости сплошной фазы.

Введя основные допущения, перейдём к математическому описанию мас­сообменных химико-технологических процессов, происходящих в полидисперсных средах, в рамках многоскоростной модели. Запишем уравнения сохранения массы, импульса, энергии с учётом фазовых переходов на включениях [6] (данная система уравнений пригодна для математического описания процессов кристаллизации, сушки, экстракции, ректификации).

 

2. Уравнения сохранения массы

Уравнение сохранения массы для сплошной фазы имеет вид:

(2.1)

Закон сохранения массы для дисперсной фазы отражает уравнение баланса числа включений с учётом изменения объёма включения за счёт фазового перехода:

(2.2)

Отметим, что уравнение (2.2) записано для r -фазы. Для получения уравнения сохранения массы всей дисперсной фазы надо умножить каждый член уравнения (2.2) на и проинтегрировать его по dr от 0 до R.

При написании уравнений (2.1) и (2.2) использованы следующие обозначения: – наблюдаемая скорость изменения размера (объёма) включения; R – наибольший размер включений; – средняя плотность сплошной фазы; – истинная плотность дисперсной фазы; – число включений в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; – вектор средней массовой скорости i -й фазы (здесь и далее векторные величины в формулах выделяются полужирным шрифтом):

Вторые члены в левых частях уравнений (2.1) и (2.2) учитывают движение смеси. Дивергенцию можно представить более подробно:

где – проекции вектора средней массовой скорости i -й фазы на оси координат.

Член в правой части уравнения (2.1) и третий член в левой части уравнения (2.2) отражают суммарное влияние фазового перехода на включениях.

 

3. Уравнение движения сплошной фазы

Уравнение сохранения импульса для сплошной фазы имеет вид:

(2.3)

Здесь – средняя массовая скорость i -й фазы (i = 1, 2); – объёмная доля сплошной фазы; – наблюдаемая скорость изменения размера включения; R – наибольший размер включений; – сила взаимодействия между сплошной фазой и включениями, возникающая вследствие действия сил трения при контакте фаз; – массовые силы, действующие на сплошную фазу; – средняя плотность сплошной фазы; – истинная плотность дисперсной фазы; – число включений в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; – тензор вязких напряжений; Р – давление.

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.3) характеризует влияние поверхностных сил, действующих на сплошную фазу; второе слагаемое – влияние вязких напряжений, возникающих за счёт сил трения в самой сплошной фазе; третье слагаемое – влияние сил трения между сплошной фазой и включениями; четвёртое слагаемое – изменение импульса за счёт фазового превращения; пятое слагаемое – воздействие массовых сил.

Обозначение означает субстанциональную производную:

(2.4)

Векторные и тензорные величины можно представить в виде проекций на оси координат:

(2.5)

где – коэффициент вязкости сплошной фазы; g – ускорение свободного падения.

С учётом выражений (2.4), (2.5) уравнение движения сплошной фазы (2.3) можно записать в проекциях на оси координат. Например, в проекции на ось х оно будет иметь вид:

 

4. Уравнение движения дисперсной фазы

Уравнение сохранения импульса для дисперсной r -фазы имеет вид:

(2.6)

Здесь – средняя массовая скорость r -фазы; – сила взаимодействия между сплошной фазой и r -фазой, возникающая вследствие действия сил трения при контакте фаз; Р – давление; – массовые силы, действующие на включения размером r, отнесённые к единице массы включений (т.е. истинной плотности ).

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.6) характеризует влияние поверхностных сил, действующих на r -фазу; второе слагаемое – влияние сил трения между сплошной фазой и включениями размера r; третье слагаемое – воздействие массовых сил.

Отметим, что как и уравнение баланса числа включений (2.2), уравнение (2.6) записано для r -фазы. Для получения уравнения движения всей дисперсной фазы надо умножить каждый член уравнения (2.6) на и проинтегрировать его по dr от 0 до R (где R – наибольший размер включений).

Обозначение означает субстанциональную производную:

(2.7)

Субстанциональная производная для дисперсной фазы (2.7) отличается от субстанциональной производной для сплошной фазы (2.4) наличием члена, описывающего фазовый переход (здесь h – наблюдаемая скорость изменения размера включения).

С учётом выражений (2.7) и (2.5) уравнение движения r -фазы (2.6) можно записать в проекциях на оси координат. Например, в проекции на ось х оно будет иметь вид:

 

5. Уравнение сохранения внутренней энергии для сплошной фазы

Уравнение сохранения внутренней энергии для сплошной фазы имеет вид:

(2.8)

Здесь – удельная внутренняя энергия сплошной фазы; – поток тепла между сплошной и дисперсной фазами, не связанный с фазовыми переходами; – поток тепла в сплошной фазе за счёт процесса теплопроводности; – средняя массовая скорость i -й фазы; – объёмная доля сплошной фазы; – наблюдаемая скорость изменения размера включения; R – наибольший размер включений; – сила взаимодействия между сплошной фазой и включениями, возникающая вследствие действия сил трения при контакте фаз; – средняя плотность сплошной фазы; – истинная плотность i -й фазы; – число включений в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; – тензор вязких напряжений; – тензор скоростей деформаций несущей фазы; Р – давление.

Обозначение означает субстанциональную производную для сплошной фазы (2.4).

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.8) характеризует обратимую работу сжатия материала фазы; второе слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт действия вязких сил внутри сплошной фазы; третье слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт действия сил трения между сплошной фазой и включениями; четвёртое слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт неравновесного обмена импульсом при фазовых превращениях в случае, если скорости движения фаз различны; пятое слагаемое – контактный теплообмен между сплошной и дисперсной фазами; шестое слагаемое – поток тепла в сплошной фазе за счёт процесса теплопроводности.

6. Уравнение сохранения внутренней энергии для дисперсной фазы

Уравнение сохранения внутренней энергии для дисперсной r -фазы имеет вид:

(2.9)

Здесь – удельная внутренняя энергия r -фазы; – поток тепла между сплошной фазой и r -фазой, не связанный с фазовыми переходами; – объёмная доля r -фазы; – наблюдаемая скорость изменения размера включения; – истинная плотность дисперсной фазы; – число включений в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; Р – давление; – энтальпии сплошной фазы и r -фазы, соответственно.

Обозначение означает субстанциональную производную для дисперсной фазы (2.7).

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.9) характеризует обратимую работу сжатия материала фазы; если дисперсная фаза, представляющая собой твёрдые частицы или капли жидкости, является несжимаемой, то

и, следовательно, первое слагаемое в правой части уравнения (2.9) отсутствует. Второе слагаемое характеризует изменение внутренней энергии дисперсной фазы за счёт контактного теплообмена со сплошной фазой; третье слагаемое – за счёт теплоты фазового превращения (предполагается, что теплота, выделяющаяся при фазовом превращении, изначально накапливается в более теплоёмкой фазе, а затем происходит теплообмен с окружающей её фазой).

Отметим, что как и уравнения баланса числа включений (2.2) и сохранения импульса для дисперсной r -фазы (2.6), уравнение (2.9) записано для r -фазы. Для получения уравнения сохранения внутренней энергии для всей дисперсной фазы надо проинтегрировать уравнение (2.6) по dr от 0 до R (где R – наибольший размер включений).

 

7. Уравнение изменения концентрации реагирующих компонентов

Уравнение изменения концентрации реагирующих компонентов в сплошной фазе имеет вид:

(2.10)

Здесь – концентрация k -го реагирующего компонента в сплошной фазе; – диффузионный поток k -го компонента в сплошной фазе; – наблюдаемая скорость изменения размера включения; R – наибольший размер включений; – средняя плотность сплошной фазы; – истинная плотность дисперсной фазы; – число включений в единице объёма смеси с размером от r до r + dr.

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.10) характеризует изменение концентрации k -го компонента в сплошной фазе за счёт процесса диффузии; второе слагаемое – за счёт фазового превращения.