Погрешность решения и обусловленность системы уравнений

Рассмотрим влияние погрешности правой части и свойств матрицы системы линейных уравнений на погрешность решения. Пусть правая часть системы задана приближенно, с погрешностью η:

 

A x = b ₁, b ₁ = b + η.

 

Пусть x ¹ решение неточно заданной системы A x = b ₁, а x решение точной системы A x = b. Обозначим погрешность решения через r = x ¹ – x. Тогда можно записать A x ¹= b ₁ в виде A (x + r)= b + η, и A r = η.

Определение 3.3. Мерой обусловленности системы называется число

 

(3.29)

 

Мера обусловленности системы равна верхней грани отношения относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части. Из формулы (3.29) следует неравенство

 

(3.30)

 

Если мера обусловленности системы принимает большое значение, то это означает, что небольшая погрешность правой части может привести к большой погрешности решения, т.е. полученное приближенное решение окажется непригодным.

Учитывая, что r = A ^–1η, можно получить формулу вычисления меры обусловленности системы:

(3.31)

 

Определение 3.4. Мерой обусловленности матрицы A называется число

(3.32)

 

Для вычисления меры обусловленности матрицы можно с помощью (3.31) получить формулу

 

(3.33)

 

Учитывая (3.30), можно записать

 

(3.34)

 

Неравенство (3.34) связывает относительные погрешности правой части и решения системы через свойства матрицы системы.

Определение 3.5. Системы уравнений и матрицы называются плохо обусловленными, если их меры обусловленности принимают большие значения, и хорошо обусловленными, если их меры обусловленности принимают малые значения.

Понятно, что при решении хорошо обусловленных систем малые погрешности правой части приводят к малым погрешностям решения, а плохо обусловленные системы уже нельзя решать обычными методами.

Пример 3.7. Для данной системы линейных уравнений исследовать влияние погрешности правой части на погрешность решения.

 

 

Решение. Решение системы x = (0,5; 0,2; –1; 0) ^T можно найти в программе Mathcad по формуле x = A ^–1∙ b, где A — матрица коэффициентов, а b — вектор правых частей:

 

 

Если мы изменим правые части на 0,01 (прибавим к каждой координате вектора b число 0,01), то получим приближенное решение x ¹ = (0,342; 0,634; –1,9; 0,667) ^T, которое отличается от точного решения на вектор x ¹ – x =
(–0,158; 0,434; –0,9; 0,667) ^T:

 

 

 

Мы видим, что незначительные погрешности правой части приводят к решению, которое сильно отличается от точного. Это объясняется плохой обусловленностью матрицы системы. Действительно, если мы вычислим число обусловленности матрицы A по формуле (3.33), пользуясь определением нормы (3.19), используя функцию программы Mathcad eigenvals(A ^T∙ A), получим:

 

 

 

Отсюда получим значение числа обусловленности матрицы A:

 

|| A || = 322,265^0,5 = 17,95, || A ^–1|| = 36720^0,5 = 191,62, τ = || A ||∙|| A ^–1|| = 3439,7.